3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 第2课时　函数奇偶性的应用 知识点一　求函数解析式 1．已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋)，则当x<0时，f(x)＝________． 答案　x(1－) 解析　当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－)． 2．已知f(x)是R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ (1)求f(－2)； (2)当x＜－3时，求f(x)的解析式． 解　(1)由题意，得f(－2)＝f(2)＝2×(3－2)＝2. (2)当x<－3时，－x>3， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x－3)(a＋x)＝－(x＋3)(a＋x)， 所以当x<－3时，f(x)的解析式为f(x)＝－(x＋3)(a＋x)． [解题通法]　已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法：①求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)． 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2， ① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 知识点二　函数奇偶性与单调性的综合 4．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是(　　) A．f(5)>f(－5) B．f(4)>f(3) C．f(－2)>f(2) D．f(－8)＝f(8) 答案　C 解析　∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f(－2)>f(2)，故选C. 5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________． 答案　(－1，3) 解析　∵f(2)＝0，f(x－1)＞0，∴f(x－1)＞f(2)．又f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(|x－1|)＞f(2)，∴|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3，即x的取值范围为(－1，3)． 6．已知定义在[－1，1]上的奇函数f(x)在[0，1]上单调递减，若f(1－m)＋f(1－m2)>0，求实数m的取值范围． 解　由函数f(x)是奇函数，且f(1－m)＋f(1－m2)>0， 得f(1－m)>－f(1－m2)＝f(m2－1)． 因为f(x)在[0，1]上单调递减，且在[－1，1]上是奇函数， 所以f(x)在[－1，1]上单调递减， 则 解得1<m≤， 故实数m的取值范围为(1，]． 知识点三　函数图象的对称性 7．已知函数f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)<f<f B．f<f(1)<f C．f<f<f(1) D．f<f(1)<f 答案　B 解析　由函数y＝f(x＋2)是偶函数，其图象关于y轴对称，可知f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f＝f，f＝f.又函数f(x)在(0，2)上是增函数，且<1<，所以f<f(1)<f，即f<f(1)<f.故选B. [解题通法]　比较大小的方法：①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 8．[多选]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．f(x＋2)＝f(x) C．f(2－x)＝f(x－1) D．f(x－2)＝f(x) 答案　ABD 解析　由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，则f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；由题意可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，故B正确；f(x－1)＋f[2－(x－1)]＝0，即f(x－1)＋f(3－x)＝0，所以f(x－1)＝－f(3－x)，故C错误；因为f(x)＝f(x＋2)，所以f(x－2)＝f(x－2＋2)＝f(x)，故D正确．故选ABD. 9．函数f(x)＝