3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 3．1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 知识点一　函数奇偶性的判断 1．[易错题]给定四个函数：①f(x)＝x3＋；②f(x)＝；③f(x)＝x3＋1；④f(x)＝.其中是奇函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　①函数的定义域为R，f(x)＝x3＋，f(－x)＝－(x3＋)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；②函数的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，则函数f(x)是非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f(－1)＝0，f(1)＝2，f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，则函数f(x)是非奇非偶函数；④函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数． [易错分析]　对于②，没有求出函数的定义域，而直接将f(x)化简为f(x)＝－x3，用定义得f(－x)＝－f(x)，得f(x)为奇函数，由于定义域不对称导致奇偶性判断错误． 2．[多选]如果f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)不恒为零，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　) A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x) C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x) 答案　AD 解析　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x＋f(x)是奇函数；对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)＝xf(x)是偶函数；对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以g(x)＝x2＋f(x)是非奇非偶函数；对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x2f(x)是奇函数． 3．已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数． 证明　令x1＝0，x2＝x，得 f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)． ① 令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)． ② 由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 知识点二　奇、偶函数的图象特征及应用 4．函数f(x)＝＋x3的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 答案　C 解析　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－x3＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于坐标原点对称．故选C. 5．已知函数f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 答案　D 解析　因为函数f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.故选D. 6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 解　(1)由题意作出函数图象如图． (2)据图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． [名师点拨]　利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． 知识点三　利用函数的奇偶性求值 7．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． 答案　－1 解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1. 8．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________． 答案　　0 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. [解题通法]　利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，a＋b＝0求参数； (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解． 9．已知函数f(x)为奇函数，函数