3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 3．1.2　函数的单调性 第1课时　单调性的定义与证明 知识点一　函数单调性的判断与证明 1．函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数 C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数 D．函数f(x)在[2，4]上是增函数 答案　A 解析　由图象知，f(x)在[－1，2]上是增函数，在(2，4]上是减函数，故选A. 2．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上(　　) A．递减 B．递增 C．先减后增 D．先增后减 答案　C 解析　因为y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．故选C. 3．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的单调递增区间依次是(　　) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞) 答案　C 解析　函数f(x)＝|x|的单调递增区间是[0，＋∞)，g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]． 4．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋ ＝(x1－x2). ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． [解题通法]　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性． 知识点二　函数的最值 5．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 答案　C 解析　由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.故选C. 6．函数y＝(x≠－2)在区间[0，5]上的最大值与最小值的和为________． 答案　 解析　任取x1，x2∈[0，5]，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，又x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，所以函数y＝在区间[0，5]上单调递减，所以当x＝0时，函数取得最大值，当x＝5时，函数取得最小值.所以函数的最大值与最小值的和为＋＝. 知识点三　函数单调性的应用 7．[易错题]已知函数f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围为________． 答案　 解析　由题意可知，解得0<a<，即a的取值范围是. [易错分析]　解不等式f(1－a)<f(2a－1)时，考虑到函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即1－a>2a－1来解，容易忽视定义域(－1，1)导致错误． 8．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解　设1<x1<x2，∴x1x2>1. ∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－ ＝(x1－x2)<0. ∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2. ∵1<x1<x2，x1x2>1，∴－x1x2<－1， ∴a≥－1. ∴实数a的取值范围是[－1，＋∞)． 一、选择题 1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　) A．y＝5－x B．y＝x2＋2 C．y＝ D．y＝－|x| 答案　B 解析　A，C，D中的函数在(0，2)上都是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数． 2．函数f(x)＝x－在[1，2]上的最大值为(　　) A．0 B. C．2 D．3 答案　B 解析　设1≤x1＜x2≤2，则x1－x2＜0，x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＝x1－－＝x1－x2＋<0，所以f(x)在[1，2]上单调递增，f(x)max＝f(2)＝. 3．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　) A．f＞f(a2－a＋1) B．f≥f(a2－a＋1) C．f＜f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1) 答案　B 解析　∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝＋≥＞0，∴f(a2－a＋1)≤f.故选B. 4．已知