3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 第2课时　函数的表示方法 知识点一　函数的三种表示方法 1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) 答案　D 解析　由题意可知，汽车行驶的速度v＝2 km/min＝120 km/h，故y＝120t(t≥0)． 2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝________，g(f(2))＝________． x 1 2 3 f(x) 2 3 0 答案　2　2 解析　由函数g(x)的图象及f(x)的对应关系知，g(2)＝1，f(1)＝2，则f(g(2))＝f(1)＝2，f(2)＝3，g(3)＝2，则g(f(2))＝g(3)＝2. 知识点二　函数图象的作法及应用 3．作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝|x2－2x|＋1； (2)y＝x＋. 解　(1)函数y＝|x2－2x|＋1的定义域为R， 列表： x … －1 0 1 2 3 … y … 4 1 2 1 4 … 观察图象可知，其值域为[1，＋∞)． (2)函数y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 列表： x … －3 －2 －1 － － 1 2 3 … y … － － －2 － － 2 … 观察图象可知，其值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 知识点三　函数解析式的求法 4．求下列函数的解析式： (1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)； (2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知2f(x)＋f(－x)＝3x2＋x＋2，求f(x)； (4)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，求f(x)． 解　(1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)＝4x2＋8x＋3. (2)解法一(拼凑法)：f(－1)＝x＋2＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1. 故所求的函数为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 解法二(换元法)：令t＝－1， 则t≥－1，且＝t＋1， ∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3. 故所求的函数为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． (3)∵2f(x)＋f(－x)＝3x2＋x＋2， ① ∴将x换成－x，得2f(－x)＋f(x)＝3x2－x＋2， ② 联立①②得f(x)＝x2＋x＋. (4)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x＋2， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x＋2. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， ∴解得 ∴f(x)＝x2＋x＋1. [名师点拨]　求函数解析式的常用方法 (1)换元法：已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，可用待定系数法； (3)解方程组法：已知f(x)与f，f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 知识点四　分段函数 5．设函数f(x)＝则f(f(f(2)))＝(　　) A．0 B．1 C．2 D. 答案　B 解析　由题意，得f(2)＝＝1，f(f(2))＝f(1)＝＝0，f(f(f(2)))＝f(0)＝1，故选B. 6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 答案　A 解析　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为 y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.故选A. 7．已知函数f(x)＝－＋x2. (1)求函数f(x)的定义域，并用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解　(1)由题意，得|x|≠0，所以x≠0， 该函数的定义域为{x|x≠0}． 当x<0时，f(x)＝－＋x2＝x2＋x， 当x>0时，f(x)＝－＋x2＝x2－x， 所