2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 第2课时　均值不等式的应用 知识点一　利用均值不等式证明不等式 1．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c. 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2＝2c， ＋≥2＝2a， ＋≥2＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时成立． ∴＋＋＞a＋b＋c. 2．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋＞9. 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9. ∵a，b，c是互不相等的正数， ∴等号取不到． ∴＋＋>9. 3．已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)． 证明　∵2ab≤a2＋b2， ∴a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)， ∴≤a2＋b2， ∴≥＝(a＋b)(a，b∈R，等号在a＝b≥0时成立)． 同理，≥(b＋c)(等号在b＝c≥0时成立)， ≥(a＋c)(等号在a＝c≥0时成立)． 三式相加得＋＋ ≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c) ＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c≥0时成立)． [解题通法]　利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用均值不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到． 知识点二　均值不等式的实际应用 4．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次应进货(　　) A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件 答案　D 解析　设进货n次，一年的运费和租金为y元，则每次的进货量为.根据题意得y＝100n＋≥2000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次应进货1000件．故选D. 5.如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙． (1)求x的取值范围； (2)最少需要多少米铁丝网(精确到1米)? 解　(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则其邻边长为米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×. 令y＝x＋2×≤44(x＞0)，解得8≤x≤36. 则x的取值范围是[8，36]． (2)由均值不等式，得y＝x＋≥24， 当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立， 则y最小值＝24≈34. 即最少需要约34米铁丝网． 6．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解　设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元， 根据题意，有 z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)＝240000＋720(x＋y)． 由容积为4800 m3，可得3xy＝4800， 因此xy＝1600. 故z＝240000＋720(x＋y)≥240000＋720×2＝240000＋720×2＝297600，当且仅当x＝y＝40时，等号成立． 所以将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元． 解答题 1．(1)已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c； (2)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明　(1)∵a，b，c均为正实数， ∴，，均大于0， 又＋b≥2＝2a， ＋c≥2＝2b， ＋a≥2＝2c， 三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， ∴＋＋≥a＋b＋c. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立， ∴a＋b＋c＞＋＋. 2．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋. 证明　因为x，y，z均为正数， 所以＋＝≥，当且仅当x＝2y时等号成立， 同理可得＋≥，当且仅当2y＝3z时等号成立， ＋≥，当且仅当x＝3z时等号成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋，当且仅当x＝2y＝3z时等号成立． 3．某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不