2.2.4 第1课时 均值不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 知识点一　对均值不等式的理解 1．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 答案　D 解析　若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由均值不等式可知D正确． 2．不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 答案　C 解析　因为a>0，根据均值不等式≥，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋1≥2中等号成立当且仅当a＝1. 3．[多选][易错题]下列结论正确的是(　　) A．若a＞0，则a2＋1＞a B．若a＞0，b＞0，则≥4 C．若a＞0，b＞0，则(a＋b)≥4 D．若a∈R且a≠0，则＋a≥6 答案　ABC 解析　因为a>0，所以a2＋1≥2＝2a>a，故A正确；因为a＞0，所以＋a≥2，当且仅当a＝1时等号成立，因为b＞0，所以b＋≥2，当且仅当b＝1时等号成立，所以当a＞0，b＞0时，≥4，故B正确；(a＋b)·＝2＋＋，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立，所以(a＋b)≥4，故C正确；因为a∈R且a≠0不符合均值不等式的适用条件，故D错误． [易错分析]　易忽略不等式成立的前提条件a>0而误认为D也正确． 知识点二　利用均值不等式求最值 4．若实数a，b满足a＋2b＝3，则2a＋4b的最小值是(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 答案　C 解析　因为a＋2b＝3，所以2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b＝时等号成立．故选C. 5．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立． 6．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 答案　A 解析　x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝12，y＝3时，等号成立． 7．已知y＝，则y的最大值为(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴y＝.当t＝0时，y＝0；当t＞0时，y＝＝.∵t＋≥2(当且仅当t＝1时等号成立)，∴0＜≤.∴y的最大值为. 8．(1)已知t>0，求y＝的最小值； (2)已知x>3，求y＝x＋的最小值． 解　(1)依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2， 当且仅当t＝，即t＝1时，y取到最小值－2. (2)∵x>3，∴x－3>0，>0， 于是y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7， 当且仅当x－3＝，即x＝5时，y取到最小值7. [名师点拨]　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 9．(1)已知a，b，c为正实数，求y＝的最大值； (2)已知实数a，b满足ab>0，求y＝－的最大值． 解　(1)因为a，b，c为正实数， 所以a2＋b2≥2×ab，b2＋c2≥2×bc， 所以y＝＝≤＝， 当且仅当a＝c＝b时，等号成立． 所以y的最大值为. (2)因为ab>0， 则y＝－＝ ＝≤＝2－， 当且仅当＝时，等号成立， 所以y的最大值为2－. 一、选择题 1．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 答案　D 解析　∵0＜a＜1，0＜b＜1，a≠b，∴a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又0＜a＜1，0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大．故选D. 2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案　B 解析　(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y且x＋y＝8，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.故选B. 3．已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　A 解析　因为正数a，b满