2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识点一　一元二次方程的解集 1．方程2x2－4x－3＝0配方后的方程是(　　) A．(x＋2)2＝ B．(x－1)2＝ C．(x－2)2＝ D．(x＋1)2＝ 答案　B 解析　化二次项系数为1，得x2－2x－＝0，配方得(x－1)2＝.故选B. 2．已知方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，则另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0的解集是(　　) A．{1，3} B．{1，－3} C．{－1，3} D．{－1，－3} 答案　D 解析　由已知可得2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x＝－1或x＝－3，即所求方程的解集为{－1，－3}．故选D. 3．关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　由题意知，Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1＞0，解得m＞－.故实数m的取值范围是. 4．求下列方程的解集： (1)2x2－4x－1＝0； (2)x4－3x2＋2＝0； (3)x＋2－1＝0； (4)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0. 解　(1)解法一：因为a＝2，b＝－4，c＝－1， 所以Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24>0， 所以x＝＝＝， 所以x＝或x＝， 所以原方程的解集为. 解法二：配方可得(x－1)2＝， 则x－1＝或x－1＝－， 所以x＝或x＝， 所以原方程的解集为. (2)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0，解得y＝1或y＝2， 即x2＝1或x2＝2，所以x＝±1或x＝±. 所以原方程的解集为{－，－1，1，}． (3)令y＝≥0，得y2＋2y－1＝0， 解得y＝－1＋或y＝－1－(舍去)． 从而＝－1＋，即x＝3－2， 所以原方程的解集为{3－2}． (4)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，解得t＝－1或t＝2， 即x2－x＋1＝0① 或x2－x－2＝0，② 对①，Δ＝－3<0，无实数解； 对②，易得x＝－1或x＝2， 故原方程的解集为{－1，2}． [名师点拨]　解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程． 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 5．[多选]已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是(　　) A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0 C．x1x2<0 D．x1＜0，x2＜0 答案　AC 解析　由已知可得Δ＝(－a)2－4×(－2)＝a2＋8>0，故方程有两个不相等的实根，即x1≠x2，由根与系数的关系得x1x2＝－2<0，x1＋x2＝a.故选AC. 6．[易错题]以2和4为根的一元二次方程是(　　) A．x2＋6x＋8＝0 B．x2－6x＋8＝0 C．x2＋6x－8＝0 D．x2－6x－8＝0 答案　B 解析　设一元二次方程为x2＋bx＋c＝0，则所以以2和4为根的一元二次方程为x2－6x＋8＝0.故选B. [易错分析]　解题过程中易误认为一次项系数为2＋4＝6，从而误选A. 7．已知m，n是方程x2－x－1＝0的两实数根，则＋的值为(　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案　A 解析　根据题意得m＋n＝1，mn＝－1，所以＋＝＝＝－1. 8．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝4，则b＝________． 答案　5 解析　∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，∵x1＋x2－3x1x2＝4，∴－b＋9＝4，∴b＝5. 9．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且x2－4x－k＝0与x2＋mx＋1＝0有一个根相同，求此时m的值． 解　(1)由题意，得Δ＝(－4)2－4k＝4(4－k)>0，∴k<4.即k的取值范围为(－∞，4)． (2)∵k∈(－∞，4)，∴k的最大整数为3. ∴方程x2－4x－k＝0，即x2－4x－3＝0，其解集为{2－，2＋}． 设方程x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2， 则 若方程x2＋mx＋1＝0的一个根为2－，则另一个根为＝－， 此时m＝－(x1＋x2)＝－＝. 若方程x2＋mx＋1＝0的一个根为2＋，则另一个根为＝， 此时m＝－(x1＋x2)＝－＝－. 一、选择题 1．方程x2＋6x－5＝0的左边配成完全平方后所得方程为(　　) A．(x＋3)2＝14 B．