1.2.1 命题与量词-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 1．2.1　命题与量词 知识点一　命题 1．判断下列语句是否为命题．若是，判断其真假，并说明理由． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数； (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (3)当x＝4时，2x＋1＜0； (4)请坐！ 解　(1)是命题，因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以是一个假命题． (2)不是命题，它是疑问句，没有作出判断． (3)是命题，当x＝4时，2x＋1＝2×4＋1＝9＞0，所以是一个假命题． (4)不是命题，它是祈使句． 2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)负数的立方仍是负数． 解　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．真命题． (2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．假命题． (3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数．真命题． 知识点二　全称量词和全称量词命题 3．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形有外接圆； ③三角形的内角和为180°. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　①中含有全称量词“任意一个”，故①为全称量词命题；②中含有存在量词“有的”，故②为存在量词命题；③可描述为“所有三角形的内角和为180°”，其中“所有”为全称量词，故③为全称量词命题．故选C. 4．[多选]下列全称量词命题是假命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2＞0 B．∀x∈N，x4≥1 C．∀x∈R，x2＋1≥2 D．∀x∈Z，都有x∈R 答案　BC 解析　由于∀x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题；由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题；由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题；因为所有的整数都是实数，所以“∀x∈Z，都有x∈R”是真命题．故选BC. [解题通法]　要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，都有命题r(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题r(x0)不成立即可． 5．若命题“∀x∈R，kx2－1≠0”是真命题，则实数k的取值范围是________． 答案　(－∞，0] 解析　当k＝0时，－1≠0恒成立；当k≠0时，Δ＝0＋4k<0，解得k<0.综上，实数k的取值范围是(－∞，0]． 知识点三　存在量词与存在量词命题 6．下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有≤1. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故选B. 7．[多选]下列存在量词命题是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x3＜1 B．存在一个四边形不是平行四边形 C．∃x∈Q，x2＝3 D．∃x，y为正实数，x2＋y2＝0 答案　AB 解析　∵－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，∴“∃x∈Z，x3＜1”是真命题；“存在一个四边形不是平行四边形”是真命题，如梯形；由x2＝3，解得x＝±，而±都不是有理数，∴命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题；∵x＞0，y＞0，∴x2＋y2＞0，∴“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题．故选AB. [解题通法]　①要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题s(x0)成立即可；②要判断一个存在量词命题为假，需要说明集合中每一个x，都使s(x)不成立． 8．已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2＋2x＋2＝m有实数根”是真命题，求实数m的取值范围． 解　依题意可知方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，所以实数m的取值范围是[1，＋∞)． 一、选择题 1．下列命题为全称量词命题的是(　　) A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．有的菱形是正方形 答案　B 解析　B中“矩形都有外接圆”省略了全称量词“所有的”，它是全称量词命题． 2．既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．全等三角形必相似 B．至少有一个x∈R，使x2≤0 C．两个无理数的和是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 答案　B 解析　A，C为全称量词命题；B是存在量词命题，当x＝