3.3 函数的应用(一)-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 知识点一　一次函数模型的应用 1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　) A．200副 B．400副 C．600副 D．800副 答案　D 解析　每天的利润W(x)＝10x－y＝10x－(5x＋4000)＝5x－4000.令W(x)≥0，∴5x－4000≥0，解得x≥800.∴为了不亏本，日产手套至少为800副． 知识点二　二次函数模型的应用 2.有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值． 解　设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S， 则由图可得9x＋πx＋6y＝l， 所以6y＝l－(9＋π)x， 所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)x]＝－x2＋lx＝－＋. 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大． 由6y>0，得0<x<. 因为0<<， 所以当x＝，y＝＝，即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝. 知识点三　分段函数模型的应用 3．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解　(1)当月产量为x台时，总成本为20000＋100x， 从而f(x)＝ (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000， ∴当x＝300时，f(x)max＝25000， 当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数， f(x)<60000－100×400<25000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． [名师点拨]　应用分段函数时的三个注意点：①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏；②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集；③分段函数的最值求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 知识点四　均值不等式模型的应用 4．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？ 解　设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25，两栏面积之和为2(x－20)×＝18000， 由此得y＝＋25，广告的面积S＝xy＝x＝·x＋25x， 整理得S＝＋25(x－20)＋18500， 因为x－20>0， 所以S≥2＋18500＝24500，当且仅当＝25(x－20)时等号成立， 此时有(x－20)2＝14400(x>20)， 解得x＝140，代入y＝＋25，得y＝175， 即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500 cm2， 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告的面积最小． 一、选择题 1．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　) A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 答案　D 解析　设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知0<x<12，则S＝＋＝(x－6)2＋2，当x＝6时，Smin＝2. 2.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．A，B两种方式一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　) A．10元 B．20元 C．30元 D. 元 答案　A 解析　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t.当t＝100时，100k1＋20＝100k2，所以k2－k1＝.当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.故选A. 3．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为(　　) A．4050元 B．4000元 C．4100元