3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 知识点一　函数零点所在区间 1．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1，1) D．[0，1) 答案　B 解析　由题意得f(0)f(1)<0，即－1×(2a－2)<0，解得a>1. 2．函数f(x)＝x3＋x－的零点所在的区间是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(－2，－1) 答案　B 解析　∵f(－2)＝(－2)3＋(－2)－<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)－<0，f(0)＝－<0，f(1)＝1＋1－>0，f(2)＝23＋2－>0，∴f(0)f(1)<0，又f(x)的图象在[0，1]上是连续不断的，故由函数零点存在定理知f(x)在(0，1)内存在零点． [名师点拨]　①判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；②对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)<0，也不能说函数无零点，如f(x)＝x2，f(－1)·f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点． 知识点二　函数零点的个数 3．[易错题]函数f(x)＝x＋的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0.所以函数f(x)没有零点． [易错分析]　错误的根本原因是没有考虑到函数f(x)＝x＋的图象不是连续不断的，不能运用零点存在定理进行判断． 4．[多选]已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点 B．函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点 C．函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点 D．函数y＝f(x)在区间[1，2]上可能有零点 答案　BD 解析　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．虽然f(1)f(2)>0，但函数y＝f(x)在区间[1，2]上也有可能存在一个或多个零点．故选BD. 知识点三　二分法的概念 5．下面关于二分法的叙述，正确的是(　　) A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循 D．只有在求函数零点时才用二分法 答案　B 解析　只有函数的图象在零点附近连续不断且在该零点左右函数值异号时，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错误；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错误；求方程的近似解也可以用二分法，故D错误． 6．下列图象对应的函数中，不能用二分法求零点的是(　　) 答案　B 解析　观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点． 知识点四　用二分法求函数零点的近似值 7．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.001 B．|a－b|<0.002 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 答案　B 解析　根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|<0.001×2＝0.002时，便可结束计算． 8．已知函数f(x)＝2x3－1(x∈R)． (1)证明：函数f(x)在区间(0.5，1)内有一个零点； (2)求出f(x)在区间(0.5，1)内零点的近似值(精确度为0.1)． 解　(1)证明：因为函数f(x)＝2x3－1在区间[0.5，1]上的图象连续，且f(0.5)＝－1<0，f(1)＝2－1＝1>0， 所以函数f(x)在区间(0.5，1)内至少有一个零点； 任取x1，x2∈R且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝2x－1－(2x－1)＝2(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝2(x1－x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数，这说明f(x)