2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

目录 第二章　等式与不等式 2.2　不等式 2.2.4　均值不等式及其应用 第2课时　均值不等式的应用 目录 15分钟对点练 SHI WU FEN ZHONG DUI DIAN LIAN 30分钟综合练 SAN SHI FEN ZHONG ZONG HE LIAN 15分钟对点练 SHI WU FEN ZHONG DUI DIAN LIAN 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 证明 * 知识点一　利用均值不等式证明不等式 1．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)＞a＋b＋c. 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)≥2eq \r(\f(abc2,ab))＝2c， eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥2eq \r(\f(a2bc,bc))＝2a，eq \f(bc,a)＋eq \f(ab,c)≥2eq \r(\f(acb2,ac))＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时成立． ∴eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)＞a＋b＋c. 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 证明 * 2．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＞9. 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c) ＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c) ＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c))) 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 证明 * ≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c)) ＝3＋2＋2＋2＝9. ∵a，b，c是互不相等的正数， ∴等号取不到． ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9. 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 证明 * 3．已知a，b，c∈R，求证：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(a2＋c2)≥eq \r(2)(a＋b＋c)． 证明　∵2ab≤a2＋b2， ∴a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)， ∴eq \f((a＋b)2,2)≤a2＋b2， ∴eq \r(a2＋b2)≥eq \f(a＋b,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)(a＋b)(a，b∈R，等号在a＝b≥0时成立)． 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 证明 * 同理，eq \r(b2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(b＋c)(等号在b＝c≥0时成立)， eq \r(a2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋c)(等号在a＝c≥0时成立)． 三式相加得eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(a2＋c2) ≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)＋eq \f(\r(2),2)(b＋c)＋eq \f(\r(2),2)(a＋c) ＝eq \r(2)(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c≥0时成立)． 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 * [解题通法]　利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用均值不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到． 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 答案 * 知识点二　均值不等式的实际应用 4．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次应进货(　　) A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5