5.2.3 第2课时 诱导公式五、六-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 5.2.3　诱导公式 第2课时　诱导公式五、六 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用． 教学难点：诱导公式五、六的推导过程及公式的灵活应用． 核心素养：1.通过诱导公式求值提升数学运算素养.2.借助诱导公式进行化简和证明培养逻辑推理素养. 知识点一　公式五 sin＝cosα，cos＝sinα，sin＝cosα，cos＝－sinα. (1)公式五可概括为如下法则：±α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号． (2)利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 知识点二　公式六 　tan＝＝＝，tan＝＝＝－. 诱导公式在三角形中的几个结论 设A，B，C是△ABC的三个内角，则： sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC， sin＝sin＝cos， cos＝cos＝sin， tan＝tan＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α为第二象限角，则sin＝－cosα.(　　) (2)cos＝－sinα.(　　) (3)tan(270°＋100°)＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为(　　) A．－ B． C． D．－ (3)化简：sin＝________. (4)在△ABC中，已知sin＝，则cos＝________. 答案　(1)C　(2)A　(3)－cosα　(4) 题型一 利用诱导公式化简三角函数式 例1　化简：－ . [解]　∵sin＝cosα，cos＝sinα，tan＝， cos(3π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα， cos＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα，tan＝－， ∴原式＝－ ＝－sinαtanα＋sinαtanα＝0. 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少． (2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名． [跟踪训练1]　化简：＋. 解　因为tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα， sin＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα， cos＝cos＝－sinα， sin＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα， 所以原式＝＋＝－＝＝＝1. 题型二 利用诱导公式求值 例2　已知cos＝，求值： ＋. [解]　原式＝＋＝－sinα－sinα＝－2sinα. 又cos＝，所以－sinα＝. 所以原式＝－2sinα＝. 诱导公式应用中需注意的问题 诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件． [跟踪训练2]　已知cos(π＋α)＝－，求cos和tan的值． 解　∵cos(π＋α)＝－cosα＝－， ∴cosα＝，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，则sinα＝＝， tanα＝＝，故cos＝－sinα＝－， tan＝＝； ②若α为第四象限角，则sinα＝－＝－， tanα＝＝－，故cos＝－sinα＝， tan＝＝－. 题型三 诱导公式的综合应用 例3　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tanA－sinA的值． [解]　(1)f(α)＝＝cosα. (2)因为f(A)＝cosA＝， 又A为△ABC的内角，所以由平方关系， 得sinA＝＝， 所以tanA＝＝，所以tanA－sinA＝－＝. 诱导公式常与函数、方程(组)、三角形等知识综合，解决此类问题的关键是利用诱导公式对式子正确变形．本题利用诱导公式将三角函数的角度统一后，可借助同角三角函数的基本关系求解，这样可避免公式交错使用而导致混乱． [跟踪训练3]　是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求