5.2.2 同角三角函数的基本关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 5.2.2　同角三角函数的基本关系 (教师独具内容) 课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用． 教学难点：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式的证明． 核心素养：1.借助同角三角函数的基本关系进行运算培养数学运算素养.2.利用同角三角函数的基本关系式证明恒等式培养逻辑推理素养. 知识点一　同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tanα＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 知识点二　同角三角函数的基本关系式的变形形式 (1)平方关系变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (2)商的变形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. 1．对同角三角函数的基本关系的理解 (1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. (2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. (3)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式． 2．利用同角三角函数的基本关系推导出的几个恒等式 (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ. (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ. (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2. (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ三个式子中的任何一个式子的值，另两个式子的值均可求出． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α＋cos2β＝1也成立．(　　) (2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立．(　　) (3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α＋cos2α＝1也成立．(　　) (4)在利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值是(　　) A．－ B． C．± D．± (2)化简：＝________. (3)已知＝－5，则tanα＝________. 答案　(1)A　(2)cos80°　(3)－ 题型一 三角函数求值 例1　(1)已知cosα＝－，求sinα和tanα. [解]　sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2， 因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－； 当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝. (2)已知tanα＝3，求的值． [解]　解法一：原式＝＝＝. 解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα. 代入原式可得，原式＝＝＝. 解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα. 又sin2α＋cos2α＝1. ∴sinα＝，cosα＝， 或sinα＝－，cosα＝－， ∴原式＝. [结论探究]　在本例(2)中条件不变的情况下，求sin2α＋cos2α的值． 解　原式＝＝ ＝＝. 1．求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． [跟踪训练1]　(1)已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα. 解　cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2， 又α是第二象限角， ∴cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－. (2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值． 解　由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2. ∴2sinαcosα－cos2α