5.2.1 任意角三角函数的定义-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 5.2.1　任意角三角函数的定义 (教师独具内容) 课程标准：1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.了解三角函数线的意义． 教学重点：1.三角函数的定义.2.利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合.3.三角函数在各象限内的符号． 教学难点：1.任意角的三角函数的定义的构建过程.2.三角函数线的运用． 核心素养：1.通过三角函数的概念的学习培养数学抽象素养.2.通过三角函数线的应用提升直观想象素养. 知识点一　用比值定义三角函数 (1)三角函数的定义 如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：sinα＝，cosα＝，tanα＝，其中r＝.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切． (2)三角函数的定义域 在弧度制下，正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表： 三角函数 定义域 y＝sinα R y＝cosα R y＝tanα 知识点二　用有向线段表示三角函数 (1)点P在单位圆上，有向线段DP称为角α的正弦线，有向线段OD称为角α的余弦线，有向线段AT称为角α的正切线． (2)正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线． 知识点三　三角函数值的符号 1．对三角函数定义的理解 (1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． (2)终边相同的角的同名三角函数值相等． 2．单位圆中的“单位” 半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm，不是1 m，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度． 3．三角函数线的四注意 (1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外． (2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点． (3)正负：三条有向线段中，与x轴或y轴同向的对应的三角函数值为正，与x轴或y轴反向的对应的三角函数值为负． (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后． 4．巧记三角函数值符号 为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设角α终边上一点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sinα＝，sinα的值随y的变化而变化．(　　) (2)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　) (3)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．(　　) (4)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)已知角α的终边过点P(4，－4)，则tanα的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ (2)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 (3)sin2cos3tan4的值的符号为________. 答案　(1)B　(2)C　(3)负 题型一 三角函数的定义 例1　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值． [解]　r＝＝5|a|， 若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－， tanα＝＝＝－； 若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sinα＝－，cosα＝，tanα＝－. [条件探究]　在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y＝x上，问题不变，怎样求解？ 解　因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点． 则r＝ ＝2|a|(a≠0)． 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝； 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝. 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法为：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝，tanα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (3)当终边在直线上时，因为角的终边是射线，所以应分两种情况处理． [跟踪训练1]　(1)设a<0，角α的终边经过点P(－3a，4a