5.1.2 弧度制-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 5.1.2　弧度制 (教师独具内容) 课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 教学重点：1.弧度制的意义.2.弧度与角度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：弧度与角度的互化及扇形面积公式的运用． 核心素养：1.通过弧度制概念的学习培养数学抽象素养.2.借助弧度与角度的互化提升数学运算素养. 知识点一　角的单位制 (1)角度制 把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用“度”作单位来度量角的单位制叫作角度制． (2)弧度制 ①定义：以“弧度”为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角． ③表示方法：“弧度”用符号rad表示． 知识点二　弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 知识点三　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，x(0<x<2π)为其圆心角的弧度表示，n为圆心角的角度表示，则扇形的弧长l＝＝|x|r，扇形的面积S＝＝lr＝|x|r2. 1．角度制与弧度制的辨析比较 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与圆的半径的大小无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与圆的半径的大小无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 2．弧度制下，象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．弧度制下，轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 x轴非负半轴 {α|α＝2kπ，k∈Z} x轴负半轴 {α|α＝π＋2kπ，k∈Z} x轴 {α|α＝kπ，k∈Z} y轴非负半轴 y轴负半轴 y轴 坐标轴 4．与角α终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 注意：(1)用弧度表示区域角的实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一． (2)用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．(　　) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．(　　) (3)用弧度表示的角都是正角．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为(　　) A． cm B． cm C． cm D． cm (2)－135°化为弧度为________，化为角度为________. 答案　(1)B　(2)－　660° 题型一 弧度制的概念 例1　下列命题中，假命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的 C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 [解析]　根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题． [答案]　D 弧度制与角度制的比较 (1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法． [跟踪训练1]　下列叙述中正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大 答案　D 解析　弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D. 题型二 弧度与角度的互化 例2　把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－；3.5. [解]　112°30′＝×＝. 36°＝36×＝. －＝