4.5.1 几种函数增长快慢的比较-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 (教师独具内容) 课程标准：1.理解指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长速度.2.在不同区间上比较几种函数的增长速度． 教学重点：几种函数增长快慢的比较． 教学难点：在不同区间上函数的增长速度． 核心素养：通过本节内容的学习，使学生更深刻地理解几种函数的图象，提升直观想象素养. 知识点　指数函数、幂函数、对数函数、一次函数在(0，＋∞)上的增长情况 (1)当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． 当b>1时，对数函数y＝logbx是增函数，并且当b越小时，其函数值的增长就越快． 当x>0，α>0时，幂函数y＝xα显然也是增函数，并且当x>1时，α越大，其函数值的增长就越快． 当k>0时，一次函数y＝kx＋b是增函数，并且当k越大时，其函数值的增长就越快． (2)在区间(0，＋∞)上，a>1，α>0，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xα<ax. 只要自变量足够大，幂函数y＝xα(α>1)的增长比一次函数y＝kx＋b(k>0)快，而一次函数y＝kx＋b(k>0)的增长比幂函数y＝xα(0<α<1)增长快． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　) (2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(　　) (3)对数函数y＝logax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)下列函数中y随x的增大而增大且增大的速度越来越快的是(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝100x D．y＝e－x (2)如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　) A．一次函数 B．幂函数 C．对数函数 D．指数函数 (3)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是 (　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 答案　(1)A　(2)C　(3)D 题型一 三类函数模型增长差异的比较 例1　甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x>1时，甲走在最前面； ②当x>1时，乙走在最前面； ③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲． 其中，正确结论的序号为________. [解析]　在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得 ①错误．因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以x＝2时，乙在甲的前面； ②错误．因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)>f2(5)，所以x＝5时，甲在乙的前面； ③正确．当0<x<1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，即丁走在最前面；当x>1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面； ④正确．当0<x<1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱； ⑤正确．当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)的上方，所以最终走在最前面的是甲． [答案]　③④⑤ 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． [跟踪训练1]　(1)下列函数中，增长速度越来越快的是(　　) A．y＝2021x B．y＝2021 C．y＝log2021x D．y＝2021x 答案　A 解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，故选A. (2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递