4.4.2 计算函数零点的二分法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 4.4.2　计算函数零点的二分法 (教师独具内容) 课程标准：1.探索用二分法求函数零点的思路并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求函数零点近似值． 教学重点：掌握用二分法求函数零点近似值的一般步骤． 教学难点：利用二分法求给定精确度的函数零点近似值． 核心素养：通过本节内容的学习，使学生掌握求函数零点近似值的方法，提升数据分析素养和数学运算素养. 知识点一　二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． 知识点二　用二分法求函数零点近似值的步骤 设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线．求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε的步骤如下： (1)在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0； (2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)； (3)如果|m－a|<ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止； (4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止； (5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2)． 1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． 2．用二分法求函数零点近似值时，在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． 3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． 4．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求函数f(x)＝x2的零点近似值可以用二分法．(　　) (2)用二分法求出的函数零点就是精确值．(　　) (3)用“二分法”求方程的近似解时，ε越大，零点的精确度越高．(　　) (4)ε就是近似值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　) (2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是(　　) ①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．② (3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)<0，取区间(2,3)的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________. 答案　(1)A　(2)A　(3)(2,2.5) 题型一 二分法的概念 例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　) A．4,4 B．3,4 C．4,3 D．5,4 [解析]　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求其零点近似值的个数为3. [答案]　C 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． [跟踪训练1]　以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　C 解析　由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点时，才能用二分法求函数零点的近似值．对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值. 题型二 用二分法求方程的近似解 例2　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(误差不超过0.1)． [解]　令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解． 取(0,1