4.3.3 对数函数的图象与性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 4.3.3　对数函数的图象与性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解对数函数的概念.2.知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数.3.了解并掌握对数函数的图象与性质． 教学重点：对数函数的单调性及应用． 教学难点：对数函数性质的综合应用． 核心素养：1.通过学习对数函数的图象和性质培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过应用指数函数的图象和性质解决问题提升逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点一　对数函数的概念 函数y＝logax(x>0，a>0且a≠1)叫作(以a为底的)对数函数． 知识点二　反函数的概念 (1)指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数．指数函数的定义域(－∞，＋∞)是对数函数的值域，指数函数的值域(0，＋∞)是对数函数的定义域.两者的图象关于直线y＝x对称． (2)要找寻函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，则g(x)是f(x)的反函数． (3)一般地，若f(x)和g(x)互为反函数，则它们的图象关于直线y＝x对称． 知识点三　指数函数与对数函数的关系 函数 指数函数y＝ax 对数函数y＝logax 图象 定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞) 图象 经过点 (0,1) (1,0) 函数值的变化情况　 增减性 a＞1时递增；0＜a＜1时递减 a＞1时递增；0＜a＜1时递减 1．底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与y＝1的交点，此时y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． 2．反函数的性质 (1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数． (2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． (3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝logax2是对数函数．(　　) (2)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　) (3)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)．(　　) (4)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)函数y＝log2x在区间[1,8]上的最大值为(　　) A．0 B．1 C．3 D．8 (2)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为________. (3)若对数函数f(x)的图象过点，则对数函数的解析式为________. (4)函数y＝x的反函数为________. 答案　(1)C　(2) (3)f(x)＝log2x　(4)y＝logx 题型一 对数函数的概念 例1　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝log)x；③y＝log3；④y＝logx(x＞0，且x≠1)；⑤y＝logx.其中是对数函数的是(　　) A．③④⑤ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②⑤ [解析]　由对数函数的定义知，②⑤是对数函数，故选D. [答案]　D (2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________. [解析]　∵函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，∴解得a＝4. [答案]　4 (3)已知对数函数f(x)的图象过点(16,4)，则f＝________. [解析]　设对数函数为f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.∴f＝log2＝－1. [答案]　－1 判断一个函数是对数函数的方法 [跟踪训练1]　(1)若函数f(x)＝(a2＋a－5)·logax是对数函数，则a＝________. 答案　2 解析　由题意可得a2＋a－5＝1，解得a＝－3或a＝2.又a＞0，且a≠1，所以a＝2. (2)若对数函数的图象过点(16,2)，则对数函数的解析式为________. 答案　y＝log4x 解析　设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，由已知可得loga16＝2，即a2＝16.