4.2.2 指数函数的图象与性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 4.2.2　指数函数的图象与性质 (教师独具内容) 课程标准：1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.学会用函数的图象和代数运算的方法研究指数函数的性质.3.运用指数函数模型解决简单的实际问题． 教学重点：掌握指数函数的图象和性质． 教学难点：指数函数性质的应用． 核心素养：借助指数函数的性质及应用培养逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点　指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(0<a<1) y＝ax(a>1) 图象 性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即a0＝1 函数值的变化 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 单调性 是R上的减函数 是R上的增函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 1．由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． 2．底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论在y轴的左侧还是右侧，图象相应的底数按逆时针方向递增． 当a>b>1时， (1)若x>0，则ax>bx>1； (2)若x<0，则1>bx>ax>0. 当1>a>b>0时， (1)若x>0，则1>ax>bx>0； (2)若x<0，则bx>ax>1. 3．函数图象的对称和变换规律 一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位长度)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位长度)． 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象都在x轴上方．(　　) (2)函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(　　) (4)对于任意x∈R，一定有4x>3x.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)函数y＝2－x的图象是(　　) (2)若0<a<1，则函数f(x)＝ax＋6的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 (3)当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2＋1必过定点________. (4)函数f(x)＝x在[－1,1]上的最大值为________. 答案　(1)B　(2)A　(3)(2,2)　(4)3 题型一 指数函数的图象及应用 例1　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．由以上分析，可知a，b，c，d与1的大小关系为b＜a＜1＜d＜c. [答案]　B (2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________. [解析]　解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)． 解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)． [答案]　(3,4) 1．识别指数函数图象问题的