4.2.1 指数爆炸和指数衰减-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 4.2.1　指数爆炸和指数衰减 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 教学重点：1.指数函数的概念.2.指数函数的实际应用． 教学难点：指数函数的实际应用． 核心素养：借助指数函数的实际应用培养数学建模素养. 知识点一　指数函数的概念 底数为常数，指数为自变量x的函数y＝ax(x∈R)叫作指数函数，其中a>0，且a≠1. 知识点二　指数爆炸 (1)当底数a>1时，指数函数值随自变量的增大而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． (2)在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． 知识点三　指数衰减 (1)如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减． (2)指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量． 指数函数的解析式具有的三个特征 (1)底数a>0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x. (2)指数位置是自变量x，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)下列函数一定是指数函数的是(　　) A．y＝3·2x B．y＝2x＋1 C．y＝x3 D．y＝3－x (2)若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B. C．(－∞，1)∪ D. (3)若指数函数f(x)的图象过点(2,4)，则指数函数f(x)的解析式为________. 答案　(1)D　(2)C　(3)f(x)＝2x 题型一 指数函数的概念 例1　下列函数中，指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x. A．1 B．2 C．3 D．0 [解析]　①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D. [答案]　D (1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． [跟踪训练1]　若函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，则a＝________. 答案　－1 解析　因为函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，所以a2＝1,2－a>0且2－a≠1，解得a＝－1. 题型二 指数爆炸 例2　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)． [解]　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； … 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N＋)． (2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人． 指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． [跟踪训练2]　某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 答案　C 解析　因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.当t＝8时，真菌数为y＝10×28＝2560. 题型三 指数衰减 例3　某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验