4.2.1指数爆炸和指数衰减（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.2.1指数爆炸和指数衰减 题型一 指数函数的概念 1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 2．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 3．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．若函数（，且）满足，则的值为（　　） A．± B．±3 C． D．3 5（多选题）．设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 6．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84％，则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为 ． 7．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 8．已知，若，则 . 9．已知点在函数的反函数的图像上，则 ． 题型二 根据函数是指数函数求参数 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 2．函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 4．定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 5．若函数是指数函数且，则 ． 6．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 7．已知点在指数函数的图像上 (1)求，的值； (2)判定函数在上的单调性并证明． 8．已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)解不等式 题型三 求指数函数解析式 1．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．－4 B．0 C．2 D．4 2．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 3．幂函数和指数函数均过点，则（    ） A．函数的解析式为 B．函数的解析式为 C．当，不等式恒成立 D．函数和的图象有且只有一个交点 4（多选题）．如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 5．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数为奇函数，则实数 ． 7．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业10天（含10天）内，每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人. (1)求k的值； (2)求第10天的打卡人数 8．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域. 1．如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）求的解析式； （2）比较与的大小； （3）已知，求的取值范围． 2． 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求函数的解析式，并画出函数图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性（直接写出结论，无需给出证明）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.1指数爆炸和指数衰减 题型一 指数函数的概念 1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式；对B，符合定义；对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 2．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 3．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【详解】由对称中心性质可知函数满足，即， 整理可得，即，解得. 故选：C 4．若函数（，且）满足，则的值为（　　） A．± B．±3 C． D．3 【答案】C 【分析】首先由可求得的值，即可得函数表达式，进一步代入求值即可. 【详解】因为，所以，从而，. 故选：C. 5（多选题）．设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用求得的解析式，从而得到的奇偶性与单调性，从而得解. 【详解】因为，，所以，解得（负值舍去），则， 易得是偶函数，且在单调递减，在单调递增， 故，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 6．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84％，则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】有题意，结合指数函数的定义，归纳即可求解． 【详解】设该物质最初的质量是1，经过年剩留量是， 经过1年，剩留量； 经过2年，剩留量； …… 一般地，经过年，剩留量， 故答案为：． 7．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数，因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 8．已知，若，则 . 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且，所以或，解得或. 故答案为：或 9．已知点在函数的反函数的图像上，则 ． 【答案】2 【分析】由反函数与原函数的对称性得出点在函数的图像上，从而得出. 【详解】点在函数的反函数的图像上，所以点在函数的图像上， 代入得． 故答案为：2 题型二 根据函数是指数函数求参数 1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 2．函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】ACD 【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出的值. 【详解】由指数函数的定义知且，解得. 故选：ACD. 3．（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据指数函数的定义求解； （2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是； （2）由已知，，函数式为，时，． 故答案为：；． 4．定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数为奇函数，所以，解得. 设，则，所以，又为奇函数，所以， 即当时，. 故答案为： 5．若函数是指数函数且，则 ． 【答案】 【分析】根据函数是指数函数，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，再利用条件即得. 【详解】因为函数f(x)是指数函数，所以设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则， ∴，∴. 故答案为：. 6．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1)；(2)是偶函数，证明见解析. 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ，可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ，是偶函数． 7．已知点在指数函数的图像上 (1)求，的值； (2)判定函数在上的单调性并证明． 【答案】(1)，.(2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）根据指数函数的性质，可得，代入点进行计算可得； （2）根据指数函数的单调性，可判断函数的单调性，利用定义法可证明的单调性. 【详解】（1）由已知得，为指数函数，，解得，故点在指数函数的图像上，得，解得，，得到. （2），因为为单调增函数，且也为单调递增函数，故在上为单调递增函数，证明如下： 设，且，有，得 ， 故在上为单调递增函数. 8．已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)解不等式 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题意可得从而可求出实数的值； （2）由（1）可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案 【详解】（1）由题可知解得 （2）由（1）得 ∵在上单调递增，∴，解得， 故原不等式的解集为. 题型三 求指数函数解析式 1．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．－4 B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即， 又，所以，联立，解得，， 经检验，，满足要求，故. 故选：A. 2．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 3．幂函数和指数函数均过点，则（    ） A．函数的解析式为 B．函数的解析式为 C．当，不等式恒成立 D．函数和的图象有且只有一个交点 【答案】C 【分析】先根据点的坐标求出函数解析式，结合选项逐个判定. 【详解】设(且)， 因为，所以，即，所以A,B均不正确； 当时，均为减函数，且， 由于的取值是从正无穷大减小趋向于1，的取值是从1减小趋向于， 所以不等式恒成立，C正确； 因为，所以函数和的图象至少有两个交点，所以D不正确. 故选：C. 4（多选题）．如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【答案】BCD 【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项. 【详解】由图象可知，，即，得， 所以， A.第三周，即时，感染人数为千人， 所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误； B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为， 则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确. C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确； D.第四周，即时，感染人数千人， 所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确. 故选：BCD 5．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再逐项判断作答. 【详解】设指数函数（且），于是，即，因此， 函数，A正确，B错误； 显然，C正确； 又，因此D正确. 故选：ACD 6．已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值. 【详解】设，则，可得，即函数的定义域为， 则，即， 即，解得. 故答案为：. 7．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业10天（含10天）内，每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人. (1)求k的值； (2)求第10天的打卡人数 【答案】(1)8；(2)12万人. 【分析】（1）根据题意，由即可求解得； （2）根据（1）中解析式直接计算即可. 【详解】（1）由题意知，，所以，即，解得 （2）由（1）知，，所以， 即第10天的打卡人数约为12万人. 8．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则，令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 1．如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．    （1）求的解析式； （2）比较与的大小； （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】试题分析：（1）将分别代入，，求得，所以； （2）因为，所以，即； （3）由题意，根据定义域和单调性，有解得. 试题解析： （1）由题意得解得∴ （2）因为，所以，即． （3）由题意，所以解得， 所以的取值范围是． 2．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求函数的解析式，并画出函数图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性（直接写出结论，无需给出证明）. 【答案】(1)，图像见解析； (2)偶函数；函数在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）根据函数过原点得到，根据函数无限接近直线但又不与该直线相交得到，得到解析式，画出图像即可. （2）直接根据图像得到答案. 【详解】（1）过原点，故； 函数无限接近直线但又不与该直线相交，故，且， 又，故，，，函数图像如图所示： （2）根据函数图像知，函数定义域为，图像关于轴对称，函数为偶函数； 函数在上单调递减，在上单调递增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$