4.1.1 有理数指数幂-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 4.1.1　有理数指数幂 (教师独具内容) 课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系． 教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系． 教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.与()n的区别与联系． 核心素养：1.通过n次方根和n次根式的概念的形成过程发展数学抽象素养.2.通过正确运用根式的运算性质化简求值发展数学运算素养. 知识点一　根式的定义 (1)a的n次方根的定义：若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，数a的n次方根记作 ，a∈R； ②当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作 ； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数. 知识点二　根式的性质 (1)()n＝a. (2) ＝ 知识点三　分数指数幂 (1)当a>0，m，n∈N且n≥2时，规定 ＝，＝. (2)0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂． 知识点四　有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 1.与()n的区别 (1) 是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时， ＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 2．分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． 3．在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)＝有意义，但(－5)＝就没有意义． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a的奇次方根只有一个．(　　) (2) ＝4－π.(　　) (3)当n∈N＋时，()n＝－4.(　　) (4) ＝|m－n|＝(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1) 的运算结果为(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．± (2)若a为实数，则下列式子可能没有意义的是(　　) A. B． C． D． (3)当a<0时，a＋＋ ＝________. (4)若x5＝－3，则x＝________. 答案　(1)A　(2)D　(3)1　(4) 题型一 n次方根的概念问题 例1　(1)64的立方根是________. [解析]　64的立方根是4. [答案]　4 (2)已知x6＝2020，则x＝________. [解析]　因为x6＝2020，所以x＝±. [答案]　± (3)若 有意义，则实数x的取值范围为________. [解析]　要使有意义，则需要x＋3≥0， 即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [答案]　[－3，＋∞) n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． [跟踪训练1]　(1)已知a∈R，n∈N＋，给出下列四个式子： ① ；② ；③ ；④ . 其中无意义的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 答案　A 解析　①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5，所以有意义；③中(－5)2n＋1<0，所以无意义；④中根指数为9，所以有意义．故选A. (2)①16的平方根是________，－27的5次方根是________. ②已知x3＝6，则x＝________. 答案　①±4　　② 解析　①因为(±4)2＝16， 所以16的平方根为±4. －27的5次方根为. ②因为x3＝6，所以x＝. (3)若 有意义，求实数x的取值范围． 解　要使 有意义，则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞). 题型二 利用根式的性质化简求值 例2　化简下列各式：