3.1.1 对函数概念的再认识-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 3.1.1　对函数概念的再认识 (教师独具内容) 课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数． 教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法． 核心素养：1.通过学习函数的概念培养数学抽象素养.2.借助函数定义域、值域的求解提升数学运算素养.3.借助f(x)与f(a)的关系培养逻辑推理素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　函数的概念 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)(x∈A，y∈B).其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．值域是集合B的子集． 知识点二　确定函数的两个要素 (1)定义域； (2)对应关系. 知识点三　函数相等 两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． 对函数概念的理解 (1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝就不是函数． (2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应． (3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C⊆B. (4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系． (5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”． (6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量． (7)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任何一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．(　　) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　) (3)函数的定义域必须是实数集，值域可以为其他集合．(　　) (4)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (5)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　) ①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ (2)下列表示的是y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| (3)函数y＝的定义域是(　　) A．[－1，＋∞) B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) (4)若f(x)＝，则f(2)＝________. 答案　(1)A　(2)A　(3)C　(4) 题型一 函数关系的判断 例1　(1)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) [解析]　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知D中图象表示y是x的函数． [答案]　D (2)下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y：x2＋y2＝25；④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑥A＝{x|－1≤