2.3.1 一元二次不等式及其解法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 2.3.1　一元二次不等式及其解法 (教师独具内容) 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 教学重点：1.三个“二次”之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：三个“二次”之间的关系． 核心素养：借助一元二次不等式的解法培养数学运算素养. 知识点一　一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 知识点二　一元二次不等式与相应一元二次方程和二次函数的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0 的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 2．解一元二次不等式的方法与步骤 (1)解一元二次不等式的常用方法 ①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： (ⅰ)化不等式为标准形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象； (ⅲ)由图象得出不等式的解集． ②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含有参数的一元二次不等式 在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　) (4)不等式x2－3x＋5>0的解集为R.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________. (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________. (3)已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b＝________. 答案　(1)R　(2){x|－4<x<1}　(3)4 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0； (3)－2x2＋x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0. [解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集为. (2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}． (3)原不等式可化为2x2－x＋3>0， 由于Δ<0，方程2x2－x＋3＝0无解， ∴不等式－2x2＋x－3<0的解集为R. (4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0， 由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． [跟踪训练1]　求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>6； (2)4x2－4