1.2.3 第1课时 含有量词的命题-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 1.2.3　全称量词和存在量词 第1课时　含有量词的命题 (教师独具内容) 课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，会用数学语言表示全称命题和特称命题，并能判断其真假． 教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题构成及全称命题和特称命题真假的判定． 教学难点：全称命题与特称命题真假的判定． 核心素养：通过用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应教学内容提升数学抽象素养和逻辑推理素养. 知识点一　量词 “每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词. 知识点二　全称命题 “任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“∀”表示．设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M(当x取值a∈M时，p(a)成为一个命题)，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题.用符号简单地表示为∀x∈M，p(x). 知识点三　特称命题 “存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“∃”表示．语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题.用符号简单地表示为∃x∈M，p(x). 1．对全称量词和全称命题的理解 (1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题． (2)有些全称命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”． 2．对存在量词和特称命题的理解 存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着特称命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则特称命题为真命题．若不存在，则为假命题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　) (2)特称命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　) (3)全称命题一定含有全称量词．(　　) (4)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．(　　) (5)一个全称量词可以包含多个变量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)下列命题中是特称命题的是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 (2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)． (3)“负数没有平方根”是________命题(填“全称”或“特称”)． (4)“所有的素数是奇数”是________命题(填“真”或“假”)． 答案　(1)B　(2)有些　存在　(3)全称　(4)假 题型一 全称命题与特称命题的判断 例1　指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)存在实数x＞1，使x2＞1； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)有一个实数x，x不能取倒数． [解]　(1)命题中有量词“存在”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于1的实数集合．该命题可以写成“∃x∈R，x>1，使x2＞1”． (2)命题中省略了量词“所有”，这是一个全称量词，它的作用范围是自然数集合．该命题可以写成“∀x∈N，x2≥0”． (3)命题中有量词“有一个”，这是存在量词，它的作用范围是实数集合．该命题可以写成“∃x∈R，x没有倒数”． 判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路 [跟踪训练1]　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)圆内接四边形的对角互补； (2)存在实数x，满足x2＋2x－3＝0； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直． 解　(1)是全称命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补． (2)是特称命题，表示为∃x∈R，x2＋2x－3＝0. (3)是特称命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直． 题型二 全称命题与特称命题的真假判断 例2　指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x<x； (4)某些平行四边形是菱形． [解]　(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称命题，并且是真命题． (2)该命题是特称命题．因为存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命