第5章 三角函数 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 知识系统整合 堵点自记：　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 规律方法收藏 1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆． 3．同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定． 4．三角函数的诱导公式 诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角； (2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3)±α，π±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质 (1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规． (2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，是f(2x)的周期． 解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域． 6．函数y＝Asin(ωx＋φ) 主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系． 7．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象； (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型； (4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟． 在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑． 学科素养培优 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、三角函数的概念 三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面： (1)任意角和弧度制：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． [典例1]　求函数y＝＋ 的定义域． 解　⇒作单位圆如图，图中双阴影部分即为函数的定义域. 二、三角函数变形的常见方法 三角函数变形的关键是观察特点，选择恰当的公式和方法进行变形，在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有化弦、化切和“1”的代换． [典例2]　(1)求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ. (2)化简sin2αtanα＋＋2sinαcosα. (3)已知tanθ＝2，求sin2θ－2sinθcosθ＋1的值． 解　(1)证明：左边＝－sin2θ ＝sin2θ＝sin2θ· ＝sin2θ·＝tan2θsin2θ＝右边， 所以等式成立． (2)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sinαcosα ＝ ＝＝. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝＝1. 三、诱导公式的应用 对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，±α的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． 解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用． [典例3]　(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则＝________. (2)已知 f(α)＝. ①化简f(α)； ②若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值； ③若α＝－，求f(α)的值． 解析　(1)由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2， 则＝＝＝. (2)①f(α)＝＝sinαcosα. ②由f(α)＝sinαcosα＝可知， (cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α ＝1－2×＝， 又<α<， ∴cosα<sinα， 即cosα－sinα<