6.4.2 用样本估计总体的离散程度-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).2.理解离散程度参数的统计含义． 教学重点：理解样本数据方差、标准差的意义和作用，并会计算方差、标准差． 教学难点：从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释，能估计总体的离散程度． 核心素养：通过应用样本的标准差、方差、极差估计总体离散程度的过程提升数学运算素养和数据分析素养. 知识点一　极差 在统计学中，我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示． 知识点二　方差 (1)统计上，常采用方差来刻画一组数据波动的大小：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝ 为总体方差或方差． (2)类似地，若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这n个数据的样本方差，也简称为方差． 知识点三　标准差 标准差是方差的算术平方根． 如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差； 如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差. 给定数据x1，x2，…，xn和均值，由方差计算公式知道，样本标准差s可以用下面的公式计算：s＝ . 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方差越大，数据的稳定性越强．(　　) (2)在两组数据中，平均数较大的一组方差较大．(　　) (3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．(　　) (4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)下列说法不正确的是(　　) A．方差是标准差的平方 B．标准差的大小不会超过极差 C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0 D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散 (2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：①平均命中环数为________； ②命中环数的标准差为________. (3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________. 答案　(1)D　(2)①7　②2　(3)2 题型一　样本的标准差与方差的求法 例1　从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40. 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差． [解]　甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2， s甲＝≈10.208. 乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， 同理s＝128.8，s乙＝≈11.349. 对标准差与方差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． [跟踪训练1]　某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示： 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 求这次考试成绩的平均数和标准差． 解　设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为. 根据题意，有＝＝85， 42＝(x＋x＋…＋x－20×902)， 62＝(x＋x＋…＋x－20×802)， ∴x＋x＋…＋x＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040. 再由变形公式，得s2＝(x＋x＋…＋x－402)＝×(291040－40×852)＝×(291040－289000)＝51， ∴s＝. 题型二　样本标准差、方差的实际应用 例2　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下： 甲：95　8