4.5.2 形形色色的函数模型-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

4.5　函数模型及其应用 4.5.2　形形色色的函数模型 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 课程标准：收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中函数的现实意义． 教学重点：建立函数模型刻画实际问题． 教学难点：函数模型的建立． 核心素养：借助本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升数学建模素养和数据分析素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 知识点一　数学建模的概念 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模． 知识点二　数学建模的步骤 数学建模的步骤通常是： (1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设； (2)建立数学模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构． (3)求得数学问题的解； (4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性． 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 2．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答其实际意义． 3．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　) (2)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) √ × 2．做一做 (1)根据日常生活中的四个实际问题，现各收集到五组数据，在平面直角坐标系中画出散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　) 答案 (2)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组对应数据，如下表： 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案 x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 答案 2 核心素养形成 PART TWO 例1　习总书记在党的十九大报告中提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”．目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．十九大后，某行业计划从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0＜x＜1)． (1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍，请用a，n表示x； (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%? 参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477. 题型一 指数函数模型的应用 解析 函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． [跟踪训练1]　某地区为响应上级号召，在2021年初，新建了一批200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房面积的年平均增长率只能达到5%. (1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域； (2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？ 解　(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%