4.1.2 无理数指数幂-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.2　无理数指数幂 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算.4.理解幂运算基本不等式． 教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算.3.幂运算基本不等式的运用． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解． 核心素养：1.通过对实数指数幂au含义的认识提升数学抽象素养.2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值培养数学运算素养.3.借助幂运算基本不等式比较大小培养逻辑推理素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 底数 指数 × √ × √ √ 答案 0.09 15 2 核心素养形成 PART TWO 解 题型一 无理数指数幂的运算 关于无理数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算． (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． 解 题型二 指数幂的运算 解 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 解 解 例3　已知a>0且a≠1，m，n∈N＋. 证明：am＋n＋1>am＋an. [证明]　am＋n＋1－am－an＝(am－1)(an－1)． 当a>1时，∵m>0，n>0，∴am>1，an>1， ∴(am－1)(an－1)>0. 当0<a<1时，∵m>0，n>0， ∴am<1，an<1， ∴(am－1)(an－1)>0. 综上可知，am＋n＋1>am＋an. 证明 题型三 利用幂运算基本不等式比较大小 利用幂运算基本不等式比较大小 (1)当u>0时，若a>1则au>1；若0<a<1则au<1. (2)当u<0时，若a>1则au<1；若0<a<1则au>1. 解 解 题型四 指数幂运算中的条件求值 [结论探究1]　在本例条件不变的情况下，求a－a－1的值． [结论探究2]　在本例条件不变的情况下，求a2－a－2的值． 解 解决条件求值的思路 (1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件等式加以变形，寻找所求式子与条件等式的关系，以便用整体代入法求值． (2)在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 解 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 答案 解析 3．2－(2k＋1)－2－(2k－1)＋2－2k等于(　　) A．2－2k B．2－2k－1 C．－2－(2k＋1) D．2 答案 解析 解析 解 4 课后课时精练 PART FOUR 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 5．(多选)下列各式运算正确的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 解析　对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，[－(a3)2·(－b2)3]3＝[－a6·(－b6)]3＝(a6b6)3＝a18b18，故D正确．故选ABD. 答案 解析 答案 解析 7．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________. 答案　27 解析　由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.① 由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.② 由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 答案 解析 答案　3 答案 解析 解 解 解 证明 证明 本课结束 ar<1 ar>1 ar－s>1 ar>as ar－s<1 知识点一　有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1则eq \x(\s\up1(01))_______________