4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4.1.1 有理数指数幂 无理数指数幂 第4章 4.1.2 1.通过对有理指数幂、实数指数幂含义的认识,了解指数幂的拓展过程. 2.理解根式运算与指数运算的内在联系. 3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算. 核心素养：数学抽象、数学运算 学习目标 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 情景引入 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t(年)满足关系式S=S0·1.057t,其中S0(单位:hm2)为侵害面积的初始值. 如果求10年后侵害的面积,则S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢? 高中数学 必修第一册 湖南教育版 1.次方根 (1)定义:若一个（实）数的次方根（∈,）等于，就说的次方根. (2)表示: (3)实质:求的次方根是开方运算,与乘方运算互为逆运算. 0 高中数学 必修第一册 湖南教育版 【思考】 对于式子 中一定是非负数吗?如不是,其范围是什么? 提示:不一定是非负数,其范围由的奇偶决定;当为奇数时,∈R;当为偶数时,≥0. 2.根式 (1)式子 叫作根式（∈,）,根指数,叫作被开方数. (2)性质: ① =_ _; ② 高中数学 必修第一册 湖南教育版 3.分数指数幂的意义 高中数学 必修第一册 湖南教育版 1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理指数幂.分类指数幂不可理解为个相乘,它是根式的一种写法. 2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. 3.0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义. 4.这里的是既约分数,即互素,否则式子可能会有歧义.例如(-8与(-8意义就不同,前者是一个正数,后者是一个负数. 即时巩固 1.用根式表示下列各式: (1)已知2 020,则　 ; (2)已知,则　 . 2.已知,用指数幂的形式表示　　　　　.  名师点析 高中数学 必修第一册 湖南教育版 ()与的含义一样吗?其化简结果是什么? 思考 ()表示对于实数先求次方根,再对其进行次方运算,当为任意正整数时,都有(). 表示对实数先求的次方,再对其进行次方根运算, 高中数学 必修第一册 湖南教育版 如果再规定0的正分数指数幂为0，0没有负分数指数幂，那么，在时，对于任意有理数仍有下列运算法则: ar·at=ar+t, (ar)t=art, (a·b)r=ar·bs（） 4、有理数指数幂的运算法则 1.有理数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用:, . 2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行计算. 名师点析 高中数学 必修第一册 湖南教育版 下列运算中正确的是(　　) A.a2·a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=1 D.(-2)5= 即时巩固 D 解析 ;;当时,(;,所以正确选项为D. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 (1)对任意的正有理数和正数:若,则ar1；若,则ar1； 对任意的负有理数和正数:若,则ar1；若,则ar1. (2)对任意的正数和两有理数,有=ar-s1,即； 对任意的正数和两有理数,有=ar-s1,即； 5、有理数指数幂的基本不等式 高中数学 必修第一册 湖南教育版 (1)在幂的表达式an中，叫作底数,叫作指数. (2)有理数指数幂的运算规律，对实数指数幂仍然成立. (3)类似地，仍有一般的幂运算基本不等式： 6、有理数指数幂的基本不等式 在时，对于任意实数有下列运算法则: ar·at=ar+t, (ar)t=art, (a·b)r=ar·bs（）. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 一、利用分数指数幂的定义求值 例1　如果(,则(　　) A. B. C. D. 典例剖析 解析 由,则,,得(). 答案 D 反思感悟 解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 13 跟踪训练　已知,,则等于(　　) A. B.8 C. D.2 解析　由,得,∴,,(). A 高中数学 必修第一册 湖南教育版 二、根式的化简(求值) 例2　求下列各式的值: (1)()5+()6();(2)(-33). 解 (1)原式. (2)原式=. ,当时,原式;