第5章 §1 1.2 利用二分法求方程的近似解-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 1.2　利用二分法求方程的近似解 (教师独具内容) 课程标准：1.探索用二分法求方程近似解的思路，并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解，并知道用二分法求方程近似解具有一般性． 教学重点：1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握用二分法求方程近似解的一般步骤． 教学难点：利用二分法求给定精度的方程的近似解. 知识点一　二分法的概念 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 知识点二　用二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求方程f(x)＝0近似解的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是方程的解； ②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时方程的解x0∈(a，x1))； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时方程的解x0∈(x1，b))； (4)判断是否达到精确度ε. 若|a－b|<ε，那么可选取区间(a，b)内任意一个数作为方程的近似解；否则重复步骤(2)～(4)． 1．在用二分法求函数零点的近似值时，仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用． 2．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)用二分法求方程的近似解时，每次等分区间后，解必定在右侧区间内．(　　) (4)精确度ε就是近似值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)下列函数的零点不能用二分法求解的是________. ①y＝x2－1；②y＝－x2；③y＝ ④y＝ln x－2. (2)用二分法求方程x3－3＝0的近似解时，若初始区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________. (3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)<0，取区间[2,3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________. 答案　(1)②③　(2)1　(3)(2,2.5) 题型一　　二分法的适用条件 例1　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　) [解析]　按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A． [答案]　A 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断； (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． [跟踪训练1]　(1)下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是(　　) 答案　C 解析　由于只有C项满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点． (2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是(　　) ①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 答案　A 解析　由二分法的定义知①②正确. 题型二　　用二分法求方程的近似解 例2　利用计算器，求方程2x＝6－3x的近似解．(精确度为0.1) [解]　设f(x)＝2x＋3x－6，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，观察图象可以发现，它们的图象仅有一个交点，即方程2x＝6－3x有唯一解，设为x0.因为f(1)＝2＋3－6＝－1<0，f(2)＝4＋6－6＝4>0，所以f(1)·f(2)<0，即方程2x＝6－3x的解x0∈(1,2)．利用二分法，可以得到下表： 区间(