第1章 §2 2.1 第3课时 充要条件-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 第3课时　充要条件 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 教学重点：1.掌握充要条件的概念.2.理解充要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充要性. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若B⊆A，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若BA，则p是q的必要不充分条件； (6)若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)符号“⇔”具有传递性．(　　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．(　　) (5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是___________________________________． (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)． (3)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________. 答案　(1)x＝1或x＝2　(2)充要　(3)2 题型一 充要条件的概念及判断 例1　在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. [解]　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． (4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件． [题型探究]　已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问： (1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？ (3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 解　作出“⇒”图，如图所示，可知，p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r. (1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件． (3)共有三对充要条件：q⇔s；s⇔r；r⇔q. 判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是不是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件． (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的． 此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度． [跟踪训练1]　指出下列各题中，p是q的什么条件． (1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； (2)p：q： (3)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0. 解　(1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，所以A∪B＝A⇔A∩B＝B.所以p是q的充要条件． (2)由根据不等式的性质可得 即p⇒q，而由不能推出 如：α＝1，β＝5满足但不满足α>2. 所