第8章 §2 数学建模的主要步骤-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 (教师独具内容) 课程标准：通过本案例，熟悉模型分析、模型假设、模型建立、模型求解的全过程，理解初等模型的特点及一般的建模方法，提高数学建模能力，提高理论联系实际的能力． 教学重点：掌握数学建模的一般步骤． 教学难点：理解每个步骤的内容、要求及意义. 知识点　数学建模的一般步骤 在课本中，我们可以考虑每一辆汽车到达交通路口时的停车线．令第n辆汽车到达坐标原点O的时刻为tO(n)．这时应该有Sn(tO)＝0.根据这个模型求出tO(n)的表达式和数值． 解　在停车线处有如下关系： 注意到课本中关于Sn(0)，tn和t的表达式，并且将tO解出来，可得 tO(n)＝ 汽车通过停车线的时间与汽车达到最高限速的时间： 汽车序号n 1 2 3 4 5 6 7 8 t 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 tO(n) 1 4.65 6.74 8.58 10.29 11.93 13.56 15.19 数学建模案例——分蛋糕问题 提出问题 妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状不规则的蛋糕(如图1)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点(点P)对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你． 模型假设 1．假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是平行的． 2．假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形． 建立模型 这个问题可归结为如下平面几何题： 已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线(无论什么形状)，P是曲线所围成的图形上一点．(如图2) 求证：存在一条过P的直线l，将这个图形的面积二等分． 求解模型 过P点任作一直线l，l将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2，如果S1＝S2，则l即是所要找的直线．现在，我们考虑S1≠S2的情形： 不失一般性，设S1>S2，首先，建立如图3的坐标轴：x轴．设直线l与x轴的初始交角为α0. 以点P为旋转中心，将直线l按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化． 即S1＝S1(α)，S2＝S2(α)都是关于α的连续函数． 令f(α)＝S1(α)－S2(α)，则函数f(α)是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f(α0)＝S1(α0)－S2(α0)>0，f(α0＋π)＝S1(α0＋π)－S2(α0＋π)＝S2(α0)－S1(α0)<0. 根据零点定理，存在一个角c∈(α0，α0＋π)，使得f(c)＝S1(c)－S2(c)＝0，即存在一个角c∈(α0，α0＋π)，使得S1(c)＝S2(c)． 模型结论 通过上述几何问题的证明，我们得知： 对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线l，使得沿l对切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块． 模型评价 本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性．但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决． 1．超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图．两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若欲购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？ 　 解　合算就是纸的量多．因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算．为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算． 证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，2＝R2－r2，当D＝d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π2＝π2＝S无芯． 当D＞d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π2<π2＝S无芯． 当D＜d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π2>π2＝S无芯． 2．观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性、锯齿状地向上游动或向下滑行．可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式． (1)设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向的分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍．写出这些力； (2)证明：当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时(如图)，沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为(向下滑行不消耗能量). 解　(1)向下滑行的阻力是f1＝wsinα，向上游动的力是f2＝wsinβ＋kwsinα，水平游动的阻