第5章 §1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1．1　利用函数性质判定方程解的存在性 第五章　函数应用 (教师独具内容) 课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 教学重点：1.函数零点的概念.2.函数零点存在定理及其应用． 教学难点：运用函数零点存在定理判断函数零点所在的区间及函数零点的个数. 1 核心概念掌握 PART ONE 方程f(x)＝0的解 函数f(x)的零点 f(x)的零点 横坐标 一条连续 一正一负 f(a)·f(b)<0 至少有一个 至少有一个 方程f(x)＝0解的存在 具体有多少个解 f(a)·f(b)>0 1．函数的零点不是一个点，而是一个数，一个使函数值为0的实数． 2．一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可． 3．零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． 4．零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0. 5．如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．(　　) (2)函数y＝f(x)的零点是一个点．(　　) (3)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．(　　) (4)若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点．(　　) (5)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) × × √ × × 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是___________. (2)若函数f(x)在区间(2,5)上单调递减，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________. (3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在的最小区间为___________. 0和－3 1 (1.25,1.5) 2 核心素养形成 PART TWO 题型一 求函数的零点 解 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法： (1)令f(x)＝0，解方程f(x)＝0所得的根就是函数的零点； (2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． [跟踪训练1]　若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点． 解　由题意知f(－3)＝0， 即(－3)2－3－a＝0，则a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6. 解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2. ∴函数f(x)其余的零点是2. 解 例2　若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a) ·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 [解析]　∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b) ·(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 答案 解析 题型二 判断函数零点所在的区间 确定函数零点所在区间的方法 (1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)对于连续