第3章 指数运算与指数函数 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

章末复习 第三章　指数运算与指数函数 1 知识系统整合 PART ONE 堵点自记：　_________________________________________________ ________________________________________________________________ 2 规律方法收藏 PART TWO 1．指数幂的定义是由正整数推广到正分数、负分数，进而由单调性通过取极限的方式推广到无理数，从而扩充到实数的范围，应注意分数指数幂与根式的关系及底数的范围． 2．指数幂的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂的运算性质，在对根式进行化简时应注意符号． 3．指数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点． 4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决． 5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 6．求含有指数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数的定义域和值域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 3 学科思想培优 PART THREE 一、指数函数的典型问题 直接讨论指数函数的性质，如求定义域、值域，求单调区间，或者由指数函数的性质(如单调性)求变量的值等，主要考查指数函数的单调性，常以选择题的形式出现． 答案 解析 比较大小问题 比较两个幂的大小，除使用常规的比较大小的方法外，还要注意以下几点： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用幂函数的单调性来判断； (3)对于底数不同且指数也不同的两个幂的大小比较，则应通过中间量来比较； (4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据值的大小(特别是与0,1的大小)进行分组，再比较各组数的大小． 2 比较大小问题 比较两个幂的大小，除使用常规的比较大小的方法外，还要注意以下几点： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用幂函数的单调性来判断； (3)对于底数不同且指数也不同的两个幂的大小比较，则应通过中间量来比较； (4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据值的大小(特别是与0,1的大小)进行分组，再比较各组数的大小． 答案 解析 答案 解析 解 解 二、指数函数的图象问题 结合含变量的指数函数解析式，要求选择对应的大致图象，或进行图象变换． 1 图象的变换 [典例5]　为了得到函数y＝4·2x＋1－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点(　　) A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 [解析]　∵y＝4·2x＋1－1＝2x＋3－1，∴只需将y＝2x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝4·2x＋1－1的图象． 解析 2 根据函数解析式确定图象 [典例6]　函数y＝e－|x－1|的图象的大致形状是(　　) 答案 [解析]　画出指数函数y＝e－x的图象，然后去掉y轴左侧图象，保留y轴右侧图象，并将y轴右侧图象翻折到y轴左侧得到y＝e－|x|的图象，最后将函数y＝e－|x|的图象向右平移1个单位得到y＝e－|x－1|的图象． 解析 三、等价转化思想的体现 一般来说，小题对指数函数的考查，仅限于指数函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与指数函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成指数函数问题来处理． 解 解 本课结束 eq \a\vs4\al(1) 求定义域和值域 [典例1]　(1)函数y＝eq \r(16－4x)的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) (2)函数f(x)＝ eq \r(2－\f(1,xx＋1)－2)＋eq \r(4－x2)的定义域为(　　) A．[－2,0)