第1章 预备知识 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

章末复习 第一章　预备知识 1 知识系统整合 PART ONE 2 规律方法收藏 PART TWO 1．集合基本关系的探索性问题 对集合包含关系的刻画常常会出现在探索性问题之中，解决这类问题，首先要弄清集合的元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解． 2．由集合的混合运算结果求变量 在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性． 3．充分条件与必要条件的理解及判定 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是： (1)确定条件是什么，结论是什么； (2)把复杂的条件(结论)化简； (3)尝试从条件推结论，从结论推条件； (4)确定是什么条件． 4．全称量词命题与存在量词命题 (1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．有时需要根据命题所述的对象来确定量词． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． (3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可． (4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x，使p(x)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题． 5．比较数(式)的大小 依据：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 6．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式． 7．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即：①x，y都是正数． ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)． ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 8．二次函数的解析式 (1)二次函数的解析式通常有两种形式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)． (2)要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式时，通常有以下两种情况： ①当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c，然后列出三元一次方程组求解； ②当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y＝a(x－h)2＋k求解． 9．解一元二次不等式的步骤 当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图； (3)由图象写出不等式的解集． 特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况． (2)当a<0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解． 10．一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、可行性问题及最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是： (1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式． (5)检验并作答：将所得数据特征放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题答案． 3 学科思想培优 PART THREE 一、数形结合思想 在解答集合的运算问题时，我们往往根据集合中元素的不同属性采用不同的图形求解，若给定的集合是不等式的解集，常用数轴来求解；若给定的集合是有限数集，一般采用Venn图来求解． 解 [解]　由全集I＝{x|0<x<10，x∈N＋}，得 I＝{1,2,3,4,5