2.2.4 第1课时 均值不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第二章　等式与不等式 2.2　不等式 2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握均值不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0).2.能用均值不等式求最大值或最小值． 教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.利用均值不等式求最值． 教学难点：均值不等式条件的创造． 核心素养：1.通过两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式的过程培养数学抽象素养.2.通过灵活变换条件使用均值不等式解决最值问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 目录 核心概念掌握 HE XIN GAI NIAN ZHANG WO 核心素养形成 HE XIN SU YANG XING CHENG 随堂水平达标 SUI TANG SHUI PING DA BIAO 课后课时精练 KE HOU KE SHI JING LIAN 核心概念掌握 HE XIN GAI NIAN ZHANG WO 目录 基本不等式 两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值 * 知识点一　算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数eq \x(\s\up1(01))______称为a，b的算术平均值；数eq \x(\s\up1(02))______称为a，b的几何平均值． 知识点二　均值不等式 如果a，b都是正数，那么eq \x(\s\up1(01))_________________________________． 我们把这个不等式称为均值不等式． 均值不等式也称为eq \x(\s\up1(02))__________，其实质是：eq \x(\s\up1(03))_______________ _____________________________________． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立 目录 最小值 最大值 * 知识点三　均值不等式与最大(小)值 (1)当两个正数的积为常数时，它们的和有eq \x(\s\up1(01))________ (简记：积定和有最小值)． (2)当两个正数的和为常数时，它们的积有eq \x(\s\up1(02))__________(简记：和定积有最大值)． 目录 * 1．由均值不等式变形得到的常见的结论 (1)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)． (2)eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b均为正实数)． (3)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)． (4)(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4(a，b同号)． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 目录 * 2．应用均值不等式求最值的原则 利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合均值不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可． 目录 √ × × × × * 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)对于任意实数a，b都成立．(　　) (2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab).(　　) (3)当x>1时，y＝x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以y的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).(　　) (4)式子x＋eq \f(1,x)的最小值为2.(　　) (5)若x∈R，则x2＋2＋eq \f(1,x2＋2)的最小值为2.(　　) 目录 m＝1 a与b同号 2 * 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件是________． (3)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________． 核心素养形成 HE XIN SU YANG XIN