3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 3.1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 (教师独具内容) 课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.判断函数奇偶性的方法． 教学难点：函数奇偶性的判断． 核心素养：1.通过学习函数奇偶性的概念及其图象特征培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过判断函数的奇偶性培养逻辑推理素养． 知识点一　函数奇偶性的概念 (1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数． (2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． 知识点二　奇偶函数的图象特征 (1)偶函数的图象关于y轴对称；反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于原点对称；反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数． 理解函数的奇偶性要注意的四点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数f(x)是奇(或偶)函数． (2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1，2]上却无奇偶性可言． (3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空实数集. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．(　　) (4)函数f(x)＝x3，x∈[－1，1)是奇函数．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝______． (2)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数．(填“奇”或“偶”) (3)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝________． 答案　(1)0　(2)奇　(3)4 题型一　函数奇偶性的判断 角度1　具体函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝2－|x|； (4)f(x)＝； (5)f(x)＝x3＋x2； (6)f(x)＝ [解]　(1)因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)因为f(x)的定义域为{－1，1}，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数． (3)因为f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (4)因为f(x)＝的定义域是{x|x≥0}，它不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． (5)因为f(x)＝x3＋x2的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋x2，所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数． (6)解法一：作出函数f(x)的图象如图所示， 因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数是奇函数． 解法二：当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2， 所以f(－x)＝－f(x)； 当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0. 综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为R上的奇函数． 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步； ②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)； ③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－