3.1.2 第2课时 函数的平均变化率-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 第2课时　函数的平均变化率 (教师独具内容) 课程标准：1.了解函数平均变化率的几何意义.2.理解函数递增和递减的充要条件，并能够运用函数递增和递减的充要条件判断函数的单调性． 教学重点：函数递增和递减的充要条件． 教学难点：运用函数递增和递减的充要条件证明函数的增减性． 核心素养：1.通过学习函数平均变化率的概念培养数学抽象素养.2.通过利用函数的平均变化率证明函数的单调性培养逻辑推理素养． 知识点一　直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为． 知识点二　函数递增和递减的充要条件 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则： (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立． 知识点三　函数平均变化率的定义 一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则表示直线AB的斜率．(　　) (2)若函数y＝f(x)在(a，b)上是增函数，则在(a，b)上一定有>0.(　　) (3)在增函数和减函数的充要条件中，可以把“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都________0，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都________0. (2)函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝，③f(x)＝|x|，④f(x)＝2x＋1中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0的是________． (3)函数f(x)＝－x2－2x的最大值是________． 答案　(1)>　<　(2)②　(3)1 题型一　直线的斜率公式及应用 例1　已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．当m为何值时，直线l的斜率是1? [解]　因为直线l的斜率是1， 所以＝1，即＝1，解得m＝. 故当m＝时，直线l的斜率是1. 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． [跟踪训练1]　已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值． 解　因为A，B，C三点共线，且3≠－2， 所以直线BC，AB的斜率都存在，且kAB＝kBC. 又因为kAB＝＝，kBC＝＝. 所以＝，解得a＝2或a＝. 故实数a的值为2或. 题型二　求函数的平均变化率 例2　求函数f(x)＝2x2＋1在区间上的平均变化率． [解]　因为Δy＝f－f(1)＝2×＋1－2×12－1＝，Δx＝－1＝，所以函数f(x)＝2x2＋1在区间上的平均变化率＝＝5. 求函数的平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的主要步骤是： [跟踪训练2]　(1)如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．－2 答案　C 解析　根据函数平均变化率的定义，可知＝＝a＝3. (2)已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 答案　C 解析　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx. 题型三　函数平均变化率的应用 角度1　证明函数的单调性 例3　证明函数f(x)＝(x>0)在(0，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，并求这个函数的最值． [解]　设x1≠x2，则＝＝＝. 当x1，x2∈(0，1]时，有1－x1x2>0， 从而>0， 因此f(x)在(0，1]上是增函数． 当x1，x2∈[1，＋∞)时，有1－x1x2<0，从而<0， 因此f(x)在[