3.1.1 第3课时 分段函数-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 第3课时　分段函数 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教学重点：1.分段函数的概念.2.分段函数的图象及其应用.3.求分段函数的函数值． 教学难点：在实际情境中，构造分段函数并解决问题． 核心素养：1.借助分段函数的概念培养数学抽象素养.2.通过分段函数的求值培养数学运算素养.3.借助函数的实际应用培养数学建模素养． 知识点一　分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 知识点二　常数函数 值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数． 1．关于分段函数应注意的问题 (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集，写定义域时，区间端点应不重不漏． (4)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式求解． 2．关于函数的实际应用问题应注意的问题 对于函数的实际应用问题，在确定出函数的解析式后，不仅要注意解析式本身对自变量的限制，还要注意自变量的实际意义． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)分段函数有多个定义域．(　　) (3)函数f(x)＝是分段函数．(　　) (4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．(　　) (5)分段函数只能用解析法来表示．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)f(x)＝|x－1|的图象是(　　) (2)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由图象可知，下列说法中错误的是(　　) A．这天15时的温度最高 B．这天3时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D．这天21时的温度是30 ℃ (3)若f(x)＝则f(3)＝________，f(f(－2))＝________． (4)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________． (5)已知f(x)＝若f(x0)＝4，则x0＝________． 答案　(1)B　(2)C　(3)12　42 (4)[－1，2)　(－1，1]　(5)2 题型一　分段函数的定义域、值域 例1　(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) [解析]　要使f(x)有意义，需x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． [答案]　D (2)(2023·河南南阳一中检测)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________． [解析]　由已知得定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)．又当0<x<1时，0<－x2＋1<1，当－1<x<0时，－1<x2－1<0，当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)． [答案]　(－1，1)　(－1，1) 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． [跟踪训练1]　已知函数f(x)＝则函数的定义域为________，值域为________． 答案　R　[0，1] 解析　由已知定义域为[－1，1]∪(－∞，－1)∪(1，＋∞)＝R.又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 题型二　分段函数求值问题 例2　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值； (3)若f(m) ≤0，求实数m的取值范围． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2， ∴f＝f＝＋2×＝－3＝－. (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， ∴a＝1符合题意； 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. (3)当m≤－2时，f(m)≤0⇔ 解得m≤－2； 当－2<m<2时，f(m)≤0⇔ 解得－2<m≤0； 当m≥2时