3.1.1 第1课时 函数的概念-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 3.1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 教学重点：1.函数的概念.2.符号“y＝f(x)”的含义.3.函数的定义域和值域的求法． 教学难点：符号“y＝f(x)”的含义及已知函数解析式求函数定义域的方法． 核心素养：1.通过学习函数的概念、构成函数的要素、同一个函数的概念培养数学抽象素养.2.通过求函数的定义域和值域培养数学运算素养． 知识点一　函数的有关概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 知识点二　构成函数的三要素 (1)定义域； (2)对应关系； (3)值域． 知识点三　同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 对函数概念的理解 (1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝就不是函数． (2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应． (3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C⊆B. (4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系． (5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”． (6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量． (7)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的实数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数值域中的每一个实数都有定义域中的实数与之对应．(　　) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　) (3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．(　　) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)已知y＝f(x)，x∈A，y∈B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　) A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个 C．若f(a)＝f(b)，则a＝b D．若a＝b，则f(a)＝f(b) (2)已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (3)求下列函数的定义域： ①f(x)＝； ②f(x)＝＋. 答案　(1)C　(2)D　(3)①{x|x≠－8} ② 题型一　函数的判断 例1　(1)如图可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) [解析]　观察图象可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D中图象是函数图象． [答案]　D (2)已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　) A．f：“乘以” B．f：“乘以” C．f：“乘以” D．f：“乘以2” [解析]　对于A中的任意一个元素，在对应关系f：“乘以”，f：“乘以”，f：“乘以”下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A中的元素8，在对应关系f：“乘以2”下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系． [答案]　D 1．根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)作一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 2．判断对应关系是否为函数的两个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． [跟踪训练1]　(1