3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.2.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性． 教学重点：二分法求函数零点的步骤． 教学难点：二分法求函数零点的原理． 核心素养：1.通过学习函数零点存在定理及二分法的概念培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过用二分法求函数零点的近似值培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0． 知识点二　二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法． 知识点三　用二分法求函数零点近似值的一般步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下： 第一步：检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步． 第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步． 第三步：若f(a)f<0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)<0，将的值赋给a，回到第一步． 这些步骤可用如下图所示的框图表示． 1．函数零点存在定理的使用范围 (1)此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中有4个零点，而图②中仅有1个零点． (2)此判定定理是不可逆的，因为f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. 2．函数零点的判定 (1)若f(a)f(b)<0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点． (2)若f(a)f(b)>0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点． (3)若f(a)f(b)>0，且函数f(x)在[a，b]上不单调，则在(a，b)内零点是否存在不确定． (4)若f(a)f(b)＝0，则a或b是零点． 3．关于用二分法求函数零点近似值的一般步骤 在第一步中，初始区间[a，b]的选定一般在两个整数间，且区间长度尽量小，另外f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)<0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)<0.(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)二分法求出的函数的零点不一定是近似值．(　　) (4)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若函数f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)<0，则函数f(x)在区间(2，5)上零点的个数是________． (2)用二分法求函数f(x)＝x3－3的零点时，若初始区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________． (3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________． 答案　(1)1　(2)1　(3)(2，2.5) 题型一　二分法的适用条件 例1　下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　) [解析]　按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图象经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A. [答案]　A 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，