3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 第2课时　函数奇偶性的应用 (教师独具内容) 课程标准：会利用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、解析式、单调性等． 教学重点：函数奇偶性的应用． 教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合应用． 核心素养：通过应用函数的奇偶性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　函数奇偶性的应用 如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象． 知识点二　偶函数的性质 如果y＝f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反． 知识点三　奇函数的性质 如果y＝f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数的图象一定与y轴相交．(　　) (2)奇函数的图象一定通过原点．(　　) (3)若函数y＝f(x)是偶函数，且在[1，2]上单调递增，那么该函数在[－2，－1]上也单调递增．(　　) (4)若函数y＝f(x)是奇函数，且在(0，3)上单调递减，那么该函数在(－3，0)上也单调递减．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 (2)已知函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________． (3)如果奇函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，且最大值为8，最小值为3，那么f(x)在[－5，－2]上是________函数，最大值是________，最小值是________． 答案　(1)C　(2)2　(3)减　－3　－8 题型一　利用函数的奇偶性求值或求参数 例1　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5，2b－3]上的奇函数，则f的值为(　　) A． B． C．1 D．无法确定 [解析]　∵奇函数的定义域关于原点对称，∴2b－5＝－(2b－3)＝－2b＋3，解得b＝2.∴f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，∴f(0)＝c＝0，f(－1)＝－f(1)，即－1＋a－2＝－(1＋a＋2)，∴a＝0.∴f(x)＝x3＋2x.∴f＝＋2×＝＋1＝. [答案]　B (2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________． [解析]　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2.又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. [答案]　7 (3)已知函数f(x)＝(x＋a)(x＋b)(a，b∈R)为R上的偶函数，求a，b的关系式． [解]　∵f(x)＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab是偶函数，∴f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立， ∴(－x)2－(a＋b)x＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab， 即2(a＋b)x＝0对于x∈R恒成立， ∴a＋b＝0，即b＝－a. 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解． [跟踪训练1]　(1)设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是(　　) A．3 B．5 C．－5 D．－3 答案　A 解析　∵函数f(x)＝且f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－(－2×2＋1)＝3.故选A. (2)若f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　∵f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＝－2a，f(－x)＝ax2－bx＋b＋1＝f(x)＝ax2＋bx＋b＋1.∴a＝，b＝0.∴a＋b＝.故选B. 题型二　利用函数的奇偶性求解析式 角度1　求对称区间上的解析式 例2　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，f(x)的解析式． [解]　∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)， 设x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－x(1＋x)． 又f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(1＋x)． 当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)． (2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求当x>