专题3.1 实数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.1 实数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【知识点二】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 特别提醒：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　 （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　 （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　 　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【考点一】有关方根的理解与认识 【例1】（2023春·河北保定·七年级统考期中）已知：是64的立方根，求的平方根． 【答案】或0 【分析】根据已知条件可得，再分两种情况分别求解，从而可得答案． 解：是64的立方根， ． 当时，， 的平方根为； 当时， ， 的平方根为． 【点拨】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，熟记基本概念并建立方程求解是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列说法：如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有或；的算术平方根是；的立方根是；的算术平方根是；其中，不正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据立方根和平方根，算术平方根的定义，逐项判断即可求解． 解：如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有或或，故本选项错误； 当时，的算术平方根是，故本选项错误； 的立方根是，故本选项错误； 因为，所以的算术平方根是，故本选项错误； ∴不正确的有4个． 故选：． 【点拨】此题考查了立方根和平方根，算术平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根，算术平方根的定义是解题的关键． 【变式2】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知的算术平方根是，的立方根是2，求的平方根 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的平方等于被开方数，立方根的立方等于被开方数即可求出x，y，就可求出答案． 解：的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是2， ， 解得：， ， 的平方根是． 【点拨】本题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，立方根和算术平方根的定义是解题关键． 【考点二】算术平方根的非负性 【例2】（2022秋·浙江·七年级期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，其中b是最小的正整数，且a，c满足．    （1）__________，__________，__________； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，同时，动点Q从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，运动4秒后，点P可以追上点Q吗？ （3）在（2）的条件下，P，Q同时出发，经过多少秒后点P到点C的距离与点Q到C的距离相等． 【答案】（1），1，4；（2）不可以；（3）或6秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性、算术平方根的