第四章 指数函数与对数函数 章末总结-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 　知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 6．函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 7．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 8．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 学科素养培优 一、指数与对数的运算 指数式的运算应遵循的原则：(1)注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；(2)若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的． 对数式的运算应遵循的原则：(1)注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；(2)熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． [典例1]　计算：(1)() －－()0.5＋0.008－×； (2)lg 0.01＋log216； (3) . 解　(1)原式＝()－()＋()×＝－＋25×＝－＋2＝. (2)原式＝lg 10－2＋log224＝－2＋4＝2. (3)原式＝log33＋lg (25×4)＋2＋1＝＋lg 102＋3＝＋2＋3＝. [素养训练1]　计算下列各式的值． (1)0.064－－(－)0＋(25) －＋()0.75； (2)lg 32－lg ＋lg . 解　(1)原式＝0.4－1－1＋2－2＋2－3＝. (2)原式＝×5lg 2－×lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝. 二、指数函数、对数函数的图象及应用 识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值． 指数函数与对数函数的图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0(a>0，且a≠1)． [典例2]　(1)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝()x. ①在下图中画出函数f(x)的图象； ②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域． 解析　(1)由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上单调递减，与图象不符．故选B. (2)①先作出当x≥0时，f(x)＝()x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象，如图所示． ②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]． 答案　(1)B　(2)见解析 [素养训练2]　 (1)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象一定经