第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末总结-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ 知识系统整合 规律方法收藏 1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算法则，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点． 3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决． 4．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 5．求含有指数函数或对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 6．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式，特别是非常规的方程或不等式时，画出图象，利用数形结合能起到十分快捷的效果． 7．在建立函数模型解决实际问题中，某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y时，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立函数模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解函数模型．利用所学数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答． 第三步，转译成实际问题的解． 学科素养培优 一、指数运算、对数运算 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． [典例1]　(1)化简：÷×. 解　原式＝÷×＝ ××ab＝ab＝a. (2)求值：2log32－log3＋log38－25log53. 解　原式＝log34－log3＋log38－52log53＝log3－5log59＝log39－9＝2－9＝－7. 二、指数函数、对数函数、幂函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论．　　 1　求定义域 [典例2]　(1)函数y＝的定义域是(　　) A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] 解析　由题意得－27≥0，所以≥27，即≥，又指数函数y＝为R上的减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1. 答案　C (2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2] C．[－2，2] D．(－1，2] 解析　要使函数有意义，需 即解得x∈(－1，0)∪(0，2]． 答案　B 2　比较大小问题 比较几个数的大小是指数函数、对数函数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法等． [典例3]　若0<x<y<1，则(　　) A．3y<3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D.< 解析　因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”，因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误；对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确；对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误． 答案　C [典例4]　比较三个数0.32，log20.3，20.3的大小． 解　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.3<log21＝0，20.3>20＝1， ∴log20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x