2.2.4 均值不等式及其应用【6大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

2.2.4 均值不等式及其应用 一、重要不等式 1、对任意实数，，有,当且仅当时，等号成立。 证明∵，当时，； 当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）. 2、对的几何解释 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 二、均值不等式 1、均值不等式：如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立. 【注意】数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数 2、几何法证明 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 3、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 三、利用均值不等式求最值 1、在用均值不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x,y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为. 四、利用均值不等式证明不等式 利用均值不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用均值不等式的条件。 （1）无附加条件的不等式证明 此类式子一般是关于字母的轮换，对于此式的证明往往是通过拆式、配式，两两对应均值不等式，然后运用叠加或叠乘的方法证明。 （2）有附加条件的不等式证明 含有附加条件的不等式证明，要充分利用已知条件，特别是所证不等式与条件有关时，常用等量代换来转化不等式，比如“1”的代换等，从而达到证明的目的。 题型一 对均值不等式的概念理解 【例1】（2021秋·河南南阳·高一校考阶段练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【变式1-1】（2022秋·北京·高一丰台第十二中学校考期中）下列结论正确的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【变式1-2】（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【变式1-3】（2023春·四川绵阳·高一校考开学考试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 题型二 利用均值不等式判断不等式 【例2】（2023·全国·高一专题练习）如果，那么下列不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·江苏常州·高一校考阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值为 【变式2-2】（2022秋·山东潍坊·高一统考期中）（多选）已知，下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）已知，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2021秋·江苏徐州·高一校考期中）（多选）设a＞0，b＞0，则（ ） A． B． C． D． 题型三 利用均值不等式求最值 【例3】（2022秋·陕西西安·高一校考期中）已知，，，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3-1】（2023秋·湖南株洲·高一校考阶段练习）若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·海南·高一校考期中）已知，代数式的最大值为（ ）