专题07基本不等式及其应用（5个知识点10种题型2个易错点1种高考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

专题07基本不等式及其应用（5个知识点10种题型2个易错点1种高考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.算术平均值与几何平均值 知识点2平均值不等式 知识点3.几个重要的不等式的变形 知识点4.平均值不等式与最值 知识点5.三角不等式 【方法二】 实例探索法 题型1.平均值不等式概念辩析 题型2.利用平均值不等式比较大小 题型3.利用平均值不等式证明不等式 题型4.利用平均值不等式直接求最值 题型5.利用配凑法求最值 题型6.利用常数代换求最值 题型7.平均值不等式的实际应用 题型8.应用三角不等式证明不等式 题型9.应用三角不等式求最值 题型10.应用三角不等式解决恒成立求参数的问题 【方法三】差异对比法 易错点1.忽略等号成立的条件而致错 易错点2.多次应用基本不等式而致错 【方法四】 仿真实战法 考法. 基本不等式及其应用 【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 知识点2平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； 知识点3.几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 知识点4.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点5.三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 【方法二】实例探索法 题型1.平均值不等式概念辩析 【例1】下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 【变式】已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的序号是________．　 1 a2＋b2>2ab；②a＋b≥2；③＋>；④＋≥2. 题型2.利用平均值不等式比较大小 【例2】已知0<a<1，0<b<1，则a＋b，2，a2＋b2，2ab中哪一个最大？ 【变式】已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________ 题型3.利用平均值不等式证明不等式 【例3】已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4； 【变式】已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8。 题型4.利用平均值不等式直接求最值 【例4】（1）已知，则的最小值为_____________ （2）已知，则的最小值是_________ 题型5.利用配凑法求最值 【例5】（1）已知x>2，则y＝x＋的最小值为________． （2）若0<x<，则函数y＝x(1－2x)的最大值是________． （3）若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________． 【变式】当时，的最小值为______ 题型6.利用常数代换求最值 【例6】是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由。 【变式1】设a、b都为正数，且，则的最小值为________ 【变式2】已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值． 题型7.平均值不等式的实际应用 【例7】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗