2023年南京大学“飞迪计划”二次选拔考试数学试题

2023年南京大学“飞迪计划”二次选拔考试数学试题 考试时间：2023年9月7日14:00~17:00 第一题 (15分) 证明：任给7个实数，其中必定存在两个实数，满足 第二题(15分) 已知平面上有10个圆，任意两个圆都相交，是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论． 第三题(15分) 已知为正实数，且三次方程有三个实根，证明：三次方程的三个实根为某三角形三边长的充要条件是：． 第四题(15分) 正整数的“重复表示”是把这个正整数重复写两遍，比如：2023的“重复表示”是20232023． 问：是否存在正整数，它的“重复表示”是完全平方数？如果是，请给出尽可能多的这样的正整数；如果不是，请说明理由． 第五题(40分) 定义在区间上的函数的Legendre变换是函数 证明: （1）使得(即)的值构成的集合可能是空集、单点集或者区间．而如果是区间，则函数在上是凸函数． （2）若是凸函数，则且当时， 对任意的成立。也就是说，凸函数的Legendre变换是对合变换。（一个变换是对合变换指的是，其中表示恒等变换.） （3） 当时，有如下Young不等式的推广版本: （4） 当是凸的可微函数时，，其中由方程 确定；给出Legendre变换及其自变量的几何解释. （5） 当且时，函数的Legendre变换是函数, 其中且．并证明Young不等式 （6） 函数的Legendre变换是函数，并且满足不等式 ，. $$