第一章 空间向量与立体几何（教师专用）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一同步单元检测卷（人教A版2019）

第一章　空间向量与立体几何

一、 单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. 设空间向量是空间向量的相反向量,则下列说法中错误的是 (　　)

A. 的长度相等 B. 可能相等

C. 所在的直线平行 D.的相反向量

【解析】 由相反向量的定义可知A正确;当为零向量时,,B正确;与所在的直线可能平行也可能重合,故C错误;显然D正确.故选C.

【答案】 C

2. [2021·湖北省武汉市钢城第四中学高二月考]定义若向量向量为单位向量,则的取值范围是 (　　)

A. [6,12] B. [0,6] C. [-1,5] D. [0,12]

【解析】由题意知==3,=1.设,.又,所以,所.故选A.

【答案】 A

3. 设其中是两两垂直的单位向量,若,则实数的值分别是 (　　)

A. 1,-2,-3 B. -2,1,-3 C. -2,1,3 D. -1,2,3

【解析】,则故选B.

【答案】 B

4. [2021·山东省济宁市高二期中]下列命题中正确的是(　　)

A. 若是空间任意四点,则有+++=0

B. 若,则的长度相等而方向相同或相反

C. “”是“共线”的充分条件

D. 对空间任意一点与不共线的三,则四点共面

【解析】 选项A而不是0,故A错;选项B,仅表示的模相等,与方向无关,故B错;选项C,,即,方向相反共线,故C对;选项D,空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量,,表示,所以四点不一定共面,故D错.故选C.

【答案】 C

　第5题

5. [2021·河南省濮阳市高二联考]如图,在棱长为1的正方体中,分别为和的中点,那么直线与所成角的余弦值是 (　　)

A.  B.

C.  D.

　第5题答图

【解析】 如图,以为坐标原点,1所在直线分别为,建立空间直角坐标系,则,所以=,=.设直线与所成的角为,则故选D.

【答案】 D

6. 已知两点平面的一个法向量为,则直线与平面所成角的余弦值为 (　　)

A.  B.  C.  D. -

【解析】 因为所以=(1,2,-2),所以.设直线AB与平面所成的角为,则.故选A.

【答案】 A

7. 已知为矩形所在平面外一点,且,=,=,=.则下列结论中正确的是 (　　)

A. 直线与平面相交但不垂直

B. 直线与平面垂直

C. 直线与平面平行

D. 直线与平面所成的角为

【解析】

　第7题答图

如图,由题意,因此=+,所以,,共面.又,所以∥平面.故选C.

【答案】 C

8. 如图,在长方体中,,P为线段上的动点,则下列结论中不正确的是 (　　)

　第8题

A. 当=2时,三点共线

B. 当⊥时,⊥

C. 当=3时,∥平面

D. 当=5时,⊥平面

　第8题答图

【解析】 在长方体中,以D为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以则所以=(-1,,-1),=(1,0,-1).对于选项A,当=2时,为的中点,即为体对角线的中点,因此也为的中点,所以三点共线,故A正确;对于选项B,当⊥时,,由题意,解得所P为靠近点的五等分点,所以,则=,=,所以·=-+-=-≠0,所以与不垂直,故B错误;对于选项C,,设平面的法向量为,由得令,可得,又=-=,所以因此,所,故C正确;对于选项D,当=5时,==,所以=-=,所以·=0,·=0,因,因,根据线面垂直的判定定理,可故D正确.故选B.

【答案】 B

二、 多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9. [2021·福建省三明市尤溪第一中学高二开学考试]已知是所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则下列说法中正确的有 (　　)

A. ⊥ B. ⊥ C. BC= D. AP∥BC

【解析】 对于A,因为·=-2-2+4=0,故⊥,故A正确;对于B,因为=-=(3,-3,-3),所以·=3+6-3=6≠0,故B不正确;对于C,因为=-=(6,1,-4),所以||==,故C正确;对于D,=(1,-2,1),=(6,1,-4),因为≠≠,故D不正确.故选AC.

【答案】 AC

10. [2022·河南省安阳市高二开学考试]已知,则下列等式中正确的有 (　　)

A.  

B.

C.  

D.

【解析】 由题意可知,则,对于选项A,,两式不相等,故A不正确;对于选项B,,所以两式相等,故B正确;对于选项C,,故C正确;对于选项D,,所以两式相等,故D正确.故选BCD.

【答案】 BCD

　第11题

11. 如图为一正方体的平面展开图,对于该正方体,下列结论中正确的有 (　　)

A.

B. 与所成的角为60°

C. ∥

D. 二面角的大小为45°

　第11题答图

【解析】 画出正方体的直观图,如图,设正方体的棱长为2,以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则,所以·=(-2,2,2)·(0,2,-2)=0,所以,故A正确;由于∥,所以与所成的角为∠FCA,而在中,即是等边三角形,故,所以B正确;由于∥,而相交,故不平行,C错误;由于,所以∠EBF即是二面角的平面角,易知是等腰直角三角形,所以,故D正确.故选ABD.

【答案】 ABD

　第12题

12. [2021·广东省梅州市二模]如图,在正方体中,,点分别在棱上运动(不含端点),,下列命题中正确的有(　　)

A.

B.

C. 线段长度的最大值为

D. 三棱的体积不变

　第12题答图

【解析】在正方体中,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴立空间直角坐标系,如图,,则=(3,y,-3),=(0,3-y,z),则.对于选项A,=(0,y,-3),,则⊥,,A正确;对于选项B,=(3,y-3,0),即不垂直,从而与平面MC不垂直,B不正确;对于选项C,=(0,0,z),则,当且仅当时等号成立,C正确;对于选项D,不论点如何移动,点到平面的距离均为3,,故三棱的体积为定值,即D正确.故选ACD.

【答案】 ACD

三、 填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13. 已知点若四点共面,则　　　　. 

【解析】 因为点所以=(0,1,1),=(-1,1,1),=(-3,1,m).又因为四点共面,所以存在实数使,所以,即解得

【答案】 1

14. 已知=(1,0,2),=(2,2,0),=(0,1,2),点在直线上运动,当·取得最小值时,点的坐标为　　　　. 

【解析】 由点在直线上运动,可,所,,所以当时,·取得最小值,此时点的坐标为.

【答案】

15. 在四棱锥中,底面为矩形,⊥平面,且与底面所成的角为45°,则点到直线的距离为　　　　.